A produção total P de certo produto depende da quantidade L de trabalho empregado e da quantidade K de capital investido. Nas Seções 14.1 e 14.3 discutimos como o modelo Cobb-Douglas P = b * L^a * K^(1 - alpha) seguida de certas hipóteses econômicas, onde b e alpha são constantes positivas e α < 1. Se o custo por unidade de trabalho for m e o custo por unidade de capital for n, e uma companhia puder gastar somente uma quantidade p de dinheiro como despesa total, então a maximização da produção P estará sujeita à restrição m L + n K = p. Mostre que a produção máxima ocorre quando
L = (alpha * p) / m e K = ((1 - alpha) * p) / n

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um problema sobre produção de um produto, onde a produção total depende de duas coisas: a quantidade de trabalho e a quantidade de capital . A gente vai usar o modelo de Cobb-Douglas, que é uma forma de representar como varia com e . Além disso, tem uma restrição de custo, que é quanto a empresa pode gastar no total, representado por . A gente precisa descobrir quais são os valores de e que maximizam a produção sem ultrapassar esse gasto total .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de produção segundo o modelo de Cobb-Douglas:
Aqui, e são constantes positivas, e .

Passo 3

Agora, vamos considerar a restrição de custo. O custo total é a soma do custo com trabalho e do custo com capital:
Onde:
  • é o custo por unidade de trabalho,
  • é o custo por unidade de capital,
  • é o gasto total disponível.

Passo 4

Para facilitar os cálculos, vamos resolver a restrição para uma das variáveis. Vou resolver para :

Passo 5

Vamos substituir essa expressão de na função de produção :

Passo 6

Nosso objetivo é maximizar em relação a . Para isso, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero.

Passo 7

Calculando a derivada:
Simplificando e resolvendo para :

Passo 8

Assumindo que os custos são proporcionais, e simplificando, chegamos a:
E substituindo de volta na equação da restrição de custo para encontrar :

Resposta

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