A produção total
de certo produto depende da quantidade
de trabalho empregado e da quantidade
de capital investido. Nas Seções 14.1 e 14.3 discutimos como o modelo Cobb-Douglas
seguida de certas hipóteses econômicas, onde
e
são constantes positivas e
. Se o custo por unidade de trabalho for
e o custo por unidade de capital for
, e uma companhia puder gastar somente uma quantidade
de dinheiro como despesa total, então a maximização da produção
estará sujeita à restrição
. Mostre que a produção máxima ocorre quando
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um problema sobre produção de um produto, onde a produção total
depende de duas coisas: a quantidade de trabalho
e a quantidade de capital
. A gente vai usar o modelo de Cobb-Douglas, que é uma forma de representar como
varia com
e
. Além disso, tem uma restrição de custo, que é quanto a empresa pode gastar no total, representado por
. A gente precisa descobrir quais são os valores de
e
que maximizam a produção
sem ultrapassar esse gasto total
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função de produção segundo o modelo de Cobb-Douglas:
Aqui,
e
são constantes positivas, e
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a restrição de custo. O custo total é a soma do custo com trabalho e do custo com capital:
Onde:
-
é o custo por unidade de trabalho, -
é o custo por unidade de capital, -
é o gasto total disponível.
Passo 4
Para facilitar os cálculos, vamos resolver a restrição para uma das variáveis. Vou resolver para
:
Passo 5
Vamos substituir essa expressão de
na função de produção
:
Passo 6
Nosso objetivo é maximizar
em relação a
. Para isso, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero.
Passo 7
Calculando a derivada:
Simplificando e resolvendo para
:
Passo 8
Assumindo que os custos são proporcionais, e simplificando, chegamos a:
E substituindo
de volta na equação da restrição de custo para encontrar
:
Resposta
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e
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