Utilize os multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o retângulo com área máxima, e que tem um perímetro constante
, é um quadrado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar os multiplicadores de Lagrange, que são uma ferramenta do cálculo para encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições. Aqui, queremos provar que entre todos os retângulos com um perímetro fixo
, o que tem a maior área é o quadrado. Então, vamos precisar usar essa técnica de otimização com restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar o comprimento do retângulo de
e a largura de
. A área
do retângulo é dada por:
E o perímetro
é dado por:
Queremos maximizar
considerando que
é constante.
Passo 3
Agora, vamos montar a função de Lagrange. A ideia é maximizar a função que queremos (a área) sujeita à restrição (o perímetro fixo). Então, a função de Lagrange
é:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange que nos ajuda a incorporar a restrição na otimização.
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e igualá-las a zero.
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações. Das duas primeiras equações:
Isso nos mostra que
, ou seja, o comprimento é igual à largura.
Passo 6
Agora, substituímos
na equação da restrição:
Como
, temos:
E como
:
Passo 7
Então, o retângulo que maximiza a área com perímetro
tem lados iguais a
. Isso significa que o retângulo é um quadrado, já que todos os lados são iguais.
Resposta
O retângulo com área máxima e perímetro constante
é um quadrado, onde cada lado mede
.
Exercícios relacionados
Em relação ao Problema 23 , suponha agora que a produção seja fixada em
, onde
é uma constante. Quais valores de
e
minimizam a função custo
?
A produção total
de certo produto depende da quantidade
de trabalho empregado e da quantidade
de capital investido. Nas Seções 14.1 e 14.3 discutimos como o modelo Cobb-Douglas
seguida de certas hipóteses econômicas, onde
e
são constantes positivas e
. Se o custo por unidade de trabalho for
e o custo por unidade de capital for
, e uma companhia puder gastar somente uma quantidade
de dinheiro como despesa total, então a maximização da produção
estará sujeita à restrição
. Mostre que a produção máxima ocorre quando
Resolva as equações, com
:
Resolva as equações, com
: