Utilize os multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o retângulo com área máxima, e que tem um perímetro constante , é um quadrado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar os multiplicadores de Lagrange, que são uma ferramenta do cálculo para encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições. Aqui, queremos provar que entre todos os retângulos com um perímetro fixo , o que tem a maior área é o quadrado. Então, vamos precisar usar essa técnica de otimização com restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar o comprimento do retângulo de e a largura de . A área do retângulo é dada por:
E o perímetro é dado por:
Queremos maximizar considerando que é constante.

Passo 3

Agora, vamos montar a função de Lagrange. A ideia é maximizar a função que queremos (a área) sujeita à restrição (o perímetro fixo). Então, a função de Lagrange é:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange que nos ajuda a incorporar a restrição na otimização.

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e , e igualá-las a zero.
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Das duas primeiras equações:
Isso nos mostra que , ou seja, o comprimento é igual à largura.

Passo 6

Agora, substituímos na equação da restrição:
Como , temos:
E como :

Passo 7

Então, o retângulo que maximiza a área com perímetro tem lados iguais a . Isso significa que o retângulo é um quadrado, já que todos os lados são iguais.

Resposta

O retângulo com área máxima e perímetro constante é um quadrado, onde cada lado mede .

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Resolva as equações, com :
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