Em relação ao Problema 23 , suponha agora que a produção seja fixada em , onde é uma constante. Quais valores de e minimizam a função custo ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de produção dada por , onde é uma constante que representa a quantidade produzida. A missão é encontrar os valores de (trabalho) e (capital) que minimizam o custo da produção, que está na forma . Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica pra otimizar uma função sujeita a uma restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a restrição da função de produção para facilitar o trabalho. A equação pode ser rearranjada para:
Isso nos dá a relação entre e que precisamos manter enquanto buscamos minimizar o custo.

Passo 3

Agora, vamos montar a função de Lagrange. A ideia é combinar a função de custo com a restrição da produção. A função de Lagrange fica assim:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange que vai nos ajudar a levar em conta a restrição.

Passo 4

Para encontrar os valores que minimizam o custo, precisamos derivar a função de Lagrange parcialmente em relação a , e , e igualar cada derivada a zero.
Primeiro, a derivada em relação a :
Depois, a derivada em relação a :
E, por fim, a derivada em relação a :

Passo 5

Agora, vamos resolver essas equações para encontrar e . A partir das primeiras duas equações, podemos dividir uma pela outra para eliminar :
Rearranjando, temos:
Isso nos dá uma relação direta entre e :

Passo 6

Agora, vamos usar essa relação na restrição da função de produção para encontrar . Substituindo na equação :
Simplificando:
Somando os expoentes de :

Passo 7

Agora, isolamos :
Elevando ambos os lados à potência de :

Passo 8

Com encontrado, usamos a relação para achar :

Resposta

Os valores que minimizam o custo são:
e

Exercícios relacionados

A produção total de certo produto depende da quantidade de trabalho empregado e da quantidade de capital investido. Nas Seções 14.1 e 14.3 discutimos como o modelo Cobb-Douglas seguida de certas hipóteses econômicas, onde e são constantes positivas e . Se o custo por unidade de trabalho for e o custo por unidade de capital for , e uma companhia puder gastar somente uma quantidade de dinheiro como despesa total, então a maximização da produção estará sujeita à restrição . Mostre que a produção máxima ocorre quando
O histograma referente a esta variável está apresentado abaixo:
Nota-se que tais dados apresentam assimetria. Trata-se de uma assimetria à esquerda ou à direita?
Neste conjunto de dados, a média foi superior à mediana e à moda. Este comportamento está coerente com o tipo de assimetria observado?
Utilize os multiplicadores de Lagrange para demonstrar que o retângulo com área máxima, e que tem um perímetro constante , é um quadrado.
Resolva as equações, com :