Em relação ao Problema 23 , suponha agora que a produção seja fixada em b * L^a * K^(1-alpha) = Q, onde Q é uma constante. Quais valores de L e K minimizam a função custo C(L, K) = m L + n K ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de produção dada por , onde é uma constante que representa a quantidade produzida. A missão é encontrar os valores de (trabalho) e (capital) que minimizam o custo da produção, que está na forma . Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica pra otimizar uma função sujeita a uma restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a restrição da função de produção para facilitar o trabalho. A equação pode ser rearranjada para:
Isso nos dá a relação entre e que precisamos manter enquanto buscamos minimizar o custo.

Passo 3

Agora, vamos montar a função de Lagrange. A ideia é combinar a função de custo com a restrição da produção. A função de Lagrange fica assim:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange que vai nos ajudar a levar em conta a restrição.

Passo 4

Para encontrar os valores que minimizam o custo, precisamos derivar a função de Lagrange parcialmente em relação a , e , e igualar cada derivada a zero.
Primeiro, a derivada em relação a :
Depois, a derivada em relação a :
E, por fim, a derivada em relação a :

Passo 5

Agora, vamos resolver essas equações para encontrar e . A partir das primeiras duas equações, podemos dividir uma pela outra para eliminar :
Rearranjando, temos:
Isso nos dá uma relação direta entre e :

Passo 6

Agora, vamos usar essa relação na restrição da função de produção para encontrar . Substituindo na equação :
Simplificando:
Somando os expoentes de :

Passo 7

Agora, isolamos :
Elevando ambos os lados à potência de :

Passo 8

Com encontrado, usamos a relação para achar :

Resposta

Os valores que minimizam o custo são:
e

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