Em relação ao Problema 23 , suponha agora que a produção seja fixada em
, onde
é uma constante. Quais valores de
e
minimizam a função custo
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de produção dada por
, onde
é uma constante que representa a quantidade produzida. A missão é encontrar os valores de
(trabalho) e
(capital) que minimizam o custo da produção, que está na forma
. Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica pra otimizar uma função sujeita a uma restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a restrição da função de produção para facilitar o trabalho. A equação
pode ser rearranjada para:
Isso nos dá a relação entre
e
que precisamos manter enquanto buscamos minimizar o custo.
Passo 3
Agora, vamos montar a função de Lagrange. A ideia é combinar a função de custo
com a restrição da produção. A função de Lagrange fica assim:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange que vai nos ajudar a levar em conta a restrição.
Passo 4
Para encontrar os valores que minimizam o custo, precisamos derivar a função de Lagrange parcialmente em relação a
,
e
, e igualar cada derivada a zero.
Primeiro, a derivada em relação a
:
Depois, a derivada em relação a
:
E, por fim, a derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos resolver essas equações para encontrar
e
. A partir das primeiras duas equações, podemos dividir uma pela outra para eliminar
:
Rearranjando, temos:
Isso nos dá uma relação direta entre
e
:
Passo 6
Agora, vamos usar essa relação na restrição da função de produção para encontrar
. Substituindo
na equação
:
Simplificando:
Somando os expoentes de
:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Elevando ambos os lados à potência de
:
Passo 8
Com
encontrado, usamos a relação
para achar
:
Resposta
Os valores que minimizam o custo são:
e