| | Produto | Produto | Produto | | :---: | :---: | :---: | :---: | | A | 3 | 4 | 2 | | B | 1 | 6 | 4 | | C | 1 | 4 | 7 | Comprando-se quilos do produto quilos do produto e quilos do produto em qualquer dos supermercados pagarei . Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem três produtos: X, Y e Z. Cada um desses produtos tem preços diferentes em três supermercados diferentes, que vamos chamar de A, B e C. A tabela mostra quanto custa cada produto em cada supermercado. A gente precisa descobrir quantos quilos de cada produto (isto é, os valores de , e ) a pessoa deve comprar de X, Y e Z para gastar exatamente R$ 31,00, independente de qual supermercado ela escolha. Para resolver isso, vamos usar um sistema de equações, que é uma maneira de encontrar valores que satisfazem várias condições ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como montar as equações. Cada supermercado tem um preço diferente para cada produto, então podemos escrever uma equação para cada supermercado representando o total gasto. Por exemplo, no supermercado A, o preço do produto X é 3, do Y é 4 e do Z é 2. Se a pessoa comprar quilos de X, quilos de Y e quilos de Z, o total gasto será: Fazemos o mesmo para os supermercados B e C: No supermercado B: No supermercado C: Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, podemos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar. Vamos eliminar das segunda e terceira equações comparando com a primeira. Primeiro, observamos que as duas últimas equações têm com coeficiente 1. Podemos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar . Subtraindo a segunda equação da primeira: Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2: Ou seja: Agora, temos uma relação entre , e . Vamos usar isso nas outras equações.

Passo 4

Agora que sabemos que , podemos substituir nas outras equações. Vamos substituir na segunda equação: E também na terceira equa��ão: Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de duas equações para encontrar e . Primeiro, vamos multiplicar a primeira equação por 5 e a segunda por 7 para igualar os coeficientes de : Multiplicando a primeira equação por 5: Multiplicando a segunda equação por 7: Agora, subtraímos a primeira equação modificada da segunda: Dividindo ambos os lados por 31:

Passo 6

Agora que sabemos que , podemos substituir esse valor em uma das equações para encontrar . Vamos usar a primeira equação do sistema de duas equações: Subtraindo 10 de ambos os lados: Dividindo por 7:

Passo 7

Com e , podemos encontrar usando a relação que encontramos anteriormente:

Resposta

Os valores são quilos, quilos e quilos.

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Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista:
a) tal que b) tal que .
a) Encontre a matriz de na base ; b) Encontre utilizando .
Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista: