Produto X Produto Y Produto Z
A 3 4 2
B 1 6 4
C 1 4 7
Comprando-se x quilos do produto X, y quilos do produto Y e z quilos do produto Z em qualquer dos supermercados pagarei R . Determine Determine e e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem três produtos: X, Y e Z. Cada um desses produtos tem preços diferentes em três supermercados diferentes, que vamos chamar de A, B e C. A tabela mostra quanto custa cada produto em cada supermercado. A gente precisa descobrir quantos quilos de cada produto (isto é, os valores de , e ) a pessoa deve comprar de X, Y e Z para gastar exatamente R$ 31,00, independente de qual supermercado ela escolha. Para resolver isso, vamos usar um sistema de equações, que é uma maneira de encontrar valores que satisfazem várias condições ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como montar as equações. Cada supermercado tem um preço diferente para cada produto, então podemos escrever uma equação para cada supermercado representando o total gasto. Por exemplo, no supermercado A, o preço do produto X é 3, do Y é 4 e do Z é 2. Se a pessoa comprar 3x + 4y + 2z = 31 quilos de X, 1x + 6y + 4z = 31 quilos de Y e 1x + 4y + 7z = 31 quilos de Z, o total gasto será:
3x + 4y + 2z = 31 x + 6y + 4z = 31 x + 4y + 7z = 31
Fazemos o mesmo para os supermercados B e C:
No supermercado B:
No supermercado C:
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, podemos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar. Vamos eliminar (3x + 4y + 2z) - (x + 6y + 4z) = 31 - 31 das segunda e terceira equações comparando com a primeira.
Primeiro, observamos que as duas últimas equações têm 3x - x + 4y - 6y + 2z - 4z = 0 com coeficiente 1. Podemos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar 2x - 2y - 2z = 0 .
Subtraindo a segunda equação da primeira:
x - y - z = 0
x = y + z
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Ou seja:
Agora, temos uma relação entre , e . Vamos usar isso nas outras equações.

Passo 4

Agora que sabemos que y + z + 6y + 4z = 31 , podemos substituir (y + 6y) + (z + 4z) = 31 nas outras equações.
Vamos substituir 7y + 5z = 31 na segunda equação:
y + z + 4y + 7z = 31
(y + 4y) + (z + 7z) = 31
5y + 8z = 31
E também na terceira equa��ão:
7y + 5z = 31 5y + 8z = 31
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de duas equações para encontrar 35y + 25z = 155 e 35y + 56z = 217 .
Primeiro, vamos multiplicar a primeira equação por 5 e a segunda por 7 para igualar os coeficientes de (35y + 56z) - (35y + 25z) = 217 - 155 :
Multiplicando a primeira equação por 5:
35y - 35y + 56z - 25z = 62
Multiplicando a segunda equação por 7:
31z = 62
Agora, subtraímos a primeira equação modificada da segunda:
z = 2
Dividindo ambos os lados por 31:

Passo 6

Agora que sabemos que 7y + 5(2) = 31 , podemos substituir esse valor em uma das equações para encontrar 7y + 10 = 31 .
Vamos usar a primeira equação do sistema de duas equações:
7y = 21
y = 3
Subtraindo 10 de ambos os lados:
Dividindo por 7:

Passo 7

Com x = y + z e x = 3 + 2 , podemos encontrar x = 5 usando a relação que encontramos anteriormente:

Resposta

Os valores são quilos, quilos e quilos.

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