| | Produto | Produto | Produto |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| A | 3 | 4 | 2 |
| B | 1 | 6 | 4 |
| C | 1 | 4 | 7 |
Comprando-se quilos do produto quilos do produto e quilos do produto em qualquer dos supermercados pagarei . Determine e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem três produtos: X, Y e Z. Cada um desses produtos tem preços diferentes em três supermercados diferentes, que vamos chamar de A, B e C. A tabela mostra quanto custa cada produto em cada supermercado. A gente precisa descobrir quantos quilos de cada produto (isto é, os valores de , e ) a pessoa deve comprar de X, Y e Z para gastar exatamente R$ 31,00, independente de qual supermercado ela escolha. Para resolver isso, vamos usar um sistema de equações, que é uma maneira de encontrar valores que satisfazem várias condições ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como montar as equações. Cada supermercado tem um preço diferente para cada produto, então podemos escrever uma equação para cada supermercado representando o total gasto. Por exemplo, no supermercado A, o preço do produto X é 3, do Y é 4 e do Z é 2. Se a pessoa comprar quilos de X, quilos de Y e quilos de Z, o total gasto será:
Fazemos o mesmo para os supermercados B e C:
No supermercado B:
No supermercado C:
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiro, podemos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar. Vamos eliminar das segunda e terceira equações comparando com a primeira.
Primeiro, observamos que as duas últimas equações têm com coeficiente 1. Podemos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar .
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Ou seja:
Agora, temos uma relação entre , e . Vamos usar isso nas outras equações.
Passo 4
Agora que sabemos que , podemos substituir nas outras equações.
Vamos substituir na segunda equação:
E também na terceira equa��ão:
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de duas equações para encontrar e .
Primeiro, vamos multiplicar a primeira equação por 5 e a segunda por 7 para igualar os coeficientes de :
Multiplicando a primeira equação por 5:
Multiplicando a segunda equação por 7:
Agora, subtraímos a primeira equação modificada da segunda:
Dividindo ambos os lados por 31:
Passo 6
Agora que sabemos que , podemos substituir esse valor em uma das equações para encontrar .
Vamos usar a primeira equação do sistema de duas equações:
Subtraindo 10 de ambos os lados:
Dividindo por 7:
Passo 7
Com e , podemos encontrar usando a relação que encontramos anteriormente: