Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! Temos duas transformações lineares:
a) definida por
b) definida por
Vamos analisar cada uma delas passo a passo, entendendo a teoria por trás e descobrir como representá-las usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre transformações lineares. Uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, para uma transformação :
Adição:
Escalar:
Entender isso é crucial porque permite representar essas transformações por matrizes, facilitando muitos cálculos e análises.
Passo 3
Vamos começar com a parte a):
Queremos encontrar a matriz que representa essa transformação linear. Para isso, vamos ver o que acontece com os vetores padrão de :
Primeiro vetor padrão:
Segundo vetor padrão:
Aplicando em cada um:
A matriz da transformação é formada por esses resultados como colunas:
Passo 4
Agora, vamos para a parte b):
Aqui, estamos lidando com matrizes que são mapeadas para vetores em . Para encontrar a matriz que representa esta transformação, vamos considerar como cada entrada da matriz original é rearranjada no vetor resultante.
Podemos pensar nas entradas na ordem e observar que a transformação rearranja para . Isso pode ser representado por uma matriz que permuta as coordenadas.
A matriz será:
Essa matriz basicamente troca a posição das entradas conforme a transformação definida.