a) tal que
b) tal que .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! Temos duas transformações lineares:
a) definida por
b) definida por
Vamos analisar cada uma delas passo a passo, entendendo a teoria por trás e descobrir como representá-las usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre transformações lineares. Uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, para uma transformação :
  1. Adição:
  2. Escalar:
Entender isso é crucial porque permite representar essas transformações por matrizes, facilitando muitos cálculos e análises.

Passo 3

Vamos começar com a parte a):
Queremos encontrar a matriz que representa essa transformação linear. Para isso, vamos ver o que acontece com os vetores padrão de :
  • Primeiro vetor padrão:
  • Segundo vetor padrão:
Aplicando em cada um:
A matriz da transformação é formada por esses resultados como colunas:

Passo 4

Agora, vamos para a parte b):
Aqui, estamos lidando com matrizes que são mapeadas para vetores em . Para encontrar a matriz que representa esta transformação, vamos considerar como cada entrada da matriz original é rearranjada no vetor resultante.
Podemos pensar nas entradas na ordem e observar que a transformação rearranja para . Isso pode ser representado por uma matriz que permuta as coordenadas.
A matriz será:
Essa matriz basicamente troca a posição das entradas conforme a transformação definida.

Resposta

A matriz que representa a transformação é:
E a matriz que representa a transformação é:

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Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista: e
Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista:
Sejam as matrizes e a matriz identidade de ordem . Calcule, caso exista:
Produto Produto Produto
A 3 4 2
B 1 6 4
C 1 4 7
Comprando-se quilos do produto quilos do produto e quilos do produto em qualquer dos supermercados pagarei . Determine e .