a) T: R^2 R^2 tal que T(x, y)=(y,-x)
b) T: M2 times 2(R) R^4 tal que T(llx & y z & t)=(t, z, y, x).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo! Temos duas transformações lineares:
a) llx & y z & t definida por
b) definida por
Vamos analisar cada uma delas passo a passo, entendendo a teoria por trás e descobrir como representá-las usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre transformações lineares. Uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, para uma transformação :
  1. Adição:
  2. Escalar:
Entender isso é crucial porque permite representar essas transformações por matrizes, facilitando muitos cálculos e análises.

Passo 3

Vamos começar com a parte a):
A = 0 & 1 -1 & 0
Queremos encontrar a matriz que representa essa transformação linear. Para isso, vamos ver o que acontece com os vetores padrão de :
  • Primeiro vetor padrão:
  • Segundo vetor padrão:
Aplicando em cada um:
A matriz da transformação é formada por esses resultados como colunas:

Passo 4

Agora, vamos para a parte b):
llx & y z & t
Aqui, estamos lidando com matrizes B = 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 que são mapeadas para vetores em . Para encontrar a matriz que representa esta transformação, vamos considerar como cada entrada da matriz original é rearranjada no vetor resultante.
Podemos pensar nas entradas na ordem e observar que a transformação rearranja para . Isso pode ser representado por uma matriz que permuta as coordenadas.
A matriz será:
Essa matriz basicamente troca a posição das entradas conforme a transformação definida.

Resposta

A matriz que representa a transformação A = 0 & 1 -1 & 0 é:
llx & y z & t
E a matriz que representa a transformação B = 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 é:

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