Um professor de física acrobata está em pé sobre o centro de uma mesa girante, mantendo seus braços estendidos horizontalmente com um haltere de 5,0 kg em cada mão. Ele está girando em torno de um eixo vertical completando uma volta em 2,0s. Sabe-se que o momento de inércia do professor (sem halteres) é igual a 3,0 kg cdot m^2 quando seus braços estão estendidos para fora, diminuindo para 2,2 kg cdot m^2 quando suas mãos estão próximas do seu estômago. Os halteres estão inicialmente a uma distância de 1,0 m do eixo e a uma distância final de 0,20 m do eixo. Considere os halteres como partículas. Determine:
(b) As energias cinéticas inicial e final do sistema.

Passo 1

Resumo da Questão e Conteúdo Envolvido
Estamos lidando com um problema de energia cinética rotacional na física. Um professor está girando em uma mesa girante com halteres nas mãos. Precisamos determinar as energias cinéticas inicial e final do sistema quando o professor muda a posição dos halteres. Para resolver isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e energia cinética rotacional.

Passo 2

Identificando os Dados do Problema
Primeiro, vamos listar os dados fornecidos:
  • Massa de cada haltere:
  • Distância inicial dos halteres do eixo:
  • Distância final dos halteres do eixo:
  • Momento de inércia inicial do professor (sem halteres):
  • Momento de inércia final do professor (com halteres próximos ao corpo):
  • Período de rotação:

Passo 3

Calculando o Momento de Inércia Inicial e Final do Sistema
O momento de inércia Total do sistema é a soma do momento de inércia do professor e dos halteres.
Inicialmente:
Ii = Iprof, i + 2 times m times ri^2
Ii = 3,0 + 2 times 5,0 times (1,0)^2
Ii = 3,0 + 10,0
Ii = 13,0 , kg cdot m^2
Finalmente:
If = Iprof, f + 2 times m times rf^2
If = 2,2 + 2 times 5,0 times (0,20)^2
If = 2,2 + 2 times 5,0 times 0,04
If = 2,2 + 0,4
If = 2,6 , kg cdot m^2

Passo 4

Calculando a Velocidade Angular Inicial
A velocidade angular ( omega = 2piT ) está relacionada ao período de rotação ( omega = 2pi2,0 ) pela fórmula:
omega = pi , rad/s

Passo 5

Calculando a Energia Cinética Inicial
A energia cinética rotacional ( KE = 12 I omega^2 ) é dada por:
KEi = 12 times 13,0 times pi^2
Para o estado inicial:
KEi = 6,5 times pi^2
KEi approx 6,5 times 9,87
KEi approx 64,16 , J

Passo 6

Aplicando a Conservação do Momento Angular para Encontrar a Velocidade Angular Final
Como não há torque externo, o momento angular é conservado:
Ii omegai = If omegaf
omegaf = IiIf omegai
omegaf = 13,02,6 times pi
omegaf = 5 times pi
omegaf approx 15,71 , rad/s

Passo 7

Calculando a Energia Cinética Final
Usando a mesma fórmula da energia cinética rotacional:
KEf = 12 If omegaf^2
KEf = 12 times 2,6 times (5pi)^2
KEf = 1,3 times 25pi^2
KEf = 32,5pi^2
KEf approx 32,5 times 9,87
KEf approx 320,28 , J

Resposta

A energia cinética inicial do sistema é aproximadamente 64,16 J e a energia cinética final é aproximadamente 320,28 J.

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