Um professor montou um experimento com dois pêndulos simples, com fios de mesmo comprimento. Os pêndulos se mantiveram perfeitamente síncronos, cada qual com período de 2 s , em um dia cuja temperatura local era de 10^circ C. Num outro dia, passados alguns minutos, notouse que os pêndulos perdiam a sincronicidade. O professor associou tal fenômeno à variação de temperatura local, já que o termômetro do laboratório marcava 30^circ C naquele dia e que o coeficiente de dilatação térmica dos fios era de alpha1=2 times 10^-5 ^circ C^-1 e alpha2=7 times 10^-5 ^circ C^-1.
Assinale a alternativa que contém a melhor estimativa do intervalo de tempo entre o início do movimento e o instante em que os pêndulos apresentaram uma defasagem de meio ciclo pela primeira vez.
A ( ) 17 min
B()33 min
C() 40 min
D()66 min
E()80min

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre dois pêndulos que começam sincronizados, mas depois de um aumento de temperatura, eles perdem a sincronia. Estamos lidando com conceitos de pêndulos simples, período de oscilação e dilatação térmica. Para resolver isso, vamos precisar entender como a temperatura afeta o comprimento dos fios dos pêndulos e, consequentemente, o período de cada um.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o período $ T $ de um pêndulo simples é dado por:
T
Onde:
  • $ l $ é o comprimento do fio
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s^2 $)
Quando a temperatura muda, o comprimento do fio também muda devido à dilatação térmica. A variação do comprimento $ \Delta l $ pode ser calculada por:
T = 2pi raizlg
Onde:
  • $ \alpha $ é o coeficiente de dilatação térmica
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura

Passo 3

Vamos calcular a variação de comprimento para cada fio:
A temperatura aumentou de $ 10^{\circ} \mathrm{C} $ para $ 30^{\circ} \mathrm{C} $, então $ \Delta T = 20^{\circ} \mathrm{C} $.
Para o primeiro fio ($ \alpha_1 = 2 \times 10^{-5} , ^{\circ} \mathrm{C}^{-1} $):
10^circ C
Para o segundo fio ($ \alpha_2 = 7 \times 10^{-5} , ^{\circ} \mathrm{C}^{-1} $):
30^circ C

Passo 4

Os novos comprimentos dos fios serão:
l1' = l + De
l2' = l + De

Passo 5

Agora, vamos calcular os novos períodos dos pêndulos com os novos comprimentos:
T1' = 2pi raizl1'g = 2pi raizl (1 + 4 times 10^-4)g approx T (1 + 2 times 10^-42) = T (1 + 2 times 10^-4)
T2' = 2pi raizl2'g = 2pi raizl (1 + 1.4 times 10^-3)g approx T (1 + 7 times 10^-42) = T (1 + 7 times 10^-4)
Onde usamos a aproximação $ \sqrt{1 + \epsilon} \approx 1 + \frac{\epsilon}{2} $ para $ \epsilon $ pequeno.

Passo 6

Então, a diferença nos períodos é:
De
Sabendo que $ T = 2 , s $:
T = 2 , s

Passo 7

A diferença de frequência $ \Delta f $ é o inverso da diferença de períodos:
De

Passo 8

Queremos saber em quanto tempo $ t $ a diferença de fase alcança meio ciclo ($ \pi $ radianos). A diferença de fase por segundo é dada por $ \Delta \omega = 2\pi \Delta f $. Então:
t
Convertendo para minutos:
pi

Resposta

A melhor estimativa do intervalo de tempo é 33 minutos. Portanto, a alternativa correta é a B.

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