Um professor precisa escolher quatro alunos, num grupo de doze alunos, para a realização de uma atividade. Determine o número de maneiras que o professor pode realizar a escolha. *
A- 132
B-216
C- 336
D- 380
E- 495

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar de quantas maneiras um professor pode escolher quatro alunos de um grupo de doze para realizar uma atividade. Isso tá ligado ao conteúdo de Combinações, que faz parte da Matemática, mais especificamente da Probabilidade e Estatística. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a fórmula de combinações, que nos ajuda a calcular o número de maneiras de selecionar um grupo de objetos sem se importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação. Diferente da permutação, onde a ordem importa, nas combinações a ordem não faz diferença. Ou seja, escolher os alunos A, B, C e D é a mesma coisa que escolher D, C, B e A.

Passo 3

A fórmula para calcular combinações é a seguinte:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • $ n $ é o número total de elementos (no caso, 12 alunos).
  • $ k $ é o número de elementos a serem escolhidos (no caso, 4 alunos).
  • “!” representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com os valores do nosso problema:
C(12, 4) = 12!4!(12 - 4)! = 12!4! times 8!

Passo 5

Agora, vamos simplificar os fatoriais. Sabemos que:
12! = 12 times 11 times 10 times 9 times 8!
Então, substituindo na fórmula:
C(12, 4) = 12 times 11 times 10 times 9 times 8!4! times 8! = 12 times 11 times 10 times 94!
Os 8! se cancelam.

Passo 6

Calculando o 4!:
4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24
Então, temos:
C(12, 4) = 12 times 11 times 10 times 924

Passo 7

Vamos multiplicar o numerador:
12 times 11 = 132
132 times 10 = 1320
1320 times 9 = 11880
Então:
C(12, 4) = 1188024 = 495

Resposta

O número de maneiras que o professor pode escolher quatro alunos de um grupo de doze é 495. Portanto, a resposta correta é a opção E-495.

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