Seja C(x) a função custo de produção de x unidades de um produto, chamamos de custo marginal à derivada de C(x). Consideremos a função custo C(x)= 0,01x³ - 0,5x² + 300x + 100. O custo marginal para x = 20 é de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre função de custo de produção, que é uma parte da matemática que a gente estuda no cálculo. A gente precisa achar o custo marginal, que é basicamente quanto custa produzir uma unidade a mais. Para isso, vamos usar o conceito de derivada. Nosso objetivo é encontrar a derivada da função de custo $ C(x) = 0,01x^3 - 0,5x^2 + 300x + 100 $ e depois calcular esse valor quando $ x = 20 $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável. No caso, a função é o custo $ C(x) $, e queremos saber como o custo muda quando aumentamos a quantidade $ x $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função $ C(x) $. A regra básica para derivar uma função polinomial é derivar cada termo separadamente:
C(x)

Passo 4

Vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de $ 0,01x^3 $: Usamos a regra do poder, que diz que a derivada de $ ax^n $ é $ a \cdot n \cdot x^{n-1} $. Então:
0,01x^3
  1. Derivada de $ -0,5x^2 $:
ax^n
  1. Derivada de $ 300x $:
a cdot n cdot x^n-1
  1. Derivada de $ 100 $: Como 100 é uma constante, a derivada é 0.

Passo 5

Juntando tudo, a derivada da função $ C(x) $ é:
C(x)

Passo 6

Agora que temos a derivada, vamos calcular o custo marginal para $ x = 20 $. Ou seja, vamos substituir 20 na derivada:
x = 20

Passo 7

Calculando passo a passo:
  1. $ 20^2 = 400 $
  2. $ 0,03 \times 400 = 12 $
  3. Então:
20^2 = 400

Resposta

O custo marginal para $ x = 20 $ é de R$ 292.

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