(PROFMAT MA11AV3 2011) No instante em que uma pedra caiu (sem sofrer impulso inicial) ao momento em que se ouviu o som de seu choque com a água no fundo do poço decorreram S segundos. Calcular
a profundidade do poço. Dar a resposta em função da aceleração g da gravidade e da velocidade v do som. Usar a fórmula s = g/2 t^2 do espaço percorrido no tempo t por um corpo em queda livre que partiu do repouso.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma pedra que foi solta de um poço e caiu até a água. O tempo total que passou desde que a pedra foi solta até a gente ouvir o som do impacto foi de S segundos. A gente precisa descobrir quão fundo é o poço, mas em termos das grandezas g (aceleração da gravidade) e v (velocidade do som). Para isso, vamos usar a fórmula do espaço percorrido por um corpo em queda livre que partiu do repouso: .

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o tempo S em duas partes: o tempo que a pedra leva para cair até a água e o tempo que o som leva para subir de volta até a gente. Vamos chamar o tempo de queda da pedra de e o tempo do som de volta de . Então, temos:

Passo 3

Vamos descobrir em termos de . Sabemos que o som viaja na velocidade v, e ele precisa percorrer a profundidade do poço após a pedra atingir a água. Se a profundidade do poço for , então:

Passo 4

Agora, vamos relacionar com . Usando a fórmula da queda livre:

Passo 5

Substituímos na equação de :

Passo 6

Voltando à primeira equação , substituímos :

Passo 7

Temos uma equação quadrática em termos de :

Passo 8

Resolvendo essa equação quadrática para :
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:

Passo 9

Agora que temos , podemos achar a profundidade do poço usando:
Substituindo :
Simplificando:

Resposta

A profundidade do poço é:

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