(PROFMAT MA11AV3 2011) No instante em que uma pedra caiu (sem sofrer impulso inicial) ao momento em que se ouviu o som de seu choque com a água no fundo do poço decorreram S segundos. Calcular
a profundidade do poço. Dar a resposta em função da aceleração
da gravidade e da velocidade v do som. Usar a fórmula
do espaço percorrido no tempo
por um corpo em queda livre que partiu do repouso.
a profundidade do poço. Dar a resposta em função da aceleração
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma pedra que foi solta de um poço e caiu até a água. O tempo total que passou desde que a pedra foi solta até a gente ouvir o som do impacto foi de S segundos. A gente precisa descobrir quão fundo é o poço, mas em termos das grandezas g (aceleração da gravidade) e v (velocidade do som). Para isso, vamos usar a fórmula do espaço percorrido por um corpo em queda livre que partiu do repouso:
.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o tempo S em duas partes: o tempo que a pedra leva para cair até a água e o tempo que o som leva para subir de volta até a gente. Vamos chamar o tempo de queda da pedra de
e o tempo do som de volta de
. Então, temos:
Passo 3
Vamos descobrir
em termos de
. Sabemos que o som viaja na velocidade v, e ele precisa percorrer a profundidade do poço após a pedra atingir a água. Se a profundidade do poço for
, então:
Passo 4
Agora, vamos relacionar
com
. Usando a fórmula da queda livre:
Passo 5
Substituímos
na equação de
:
Passo 6
Voltando à primeira equação
, substituímos
:
Passo 7
Temos uma equação quadrática em termos de
:
Passo 8
Resolvendo essa equação quadrática para
:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
Passo 9
Agora que temos
, podemos achar a profundidade do poço
usando:
Substituindo
:
Simplificando:
Resposta
A profundidade do poço é: