Projetado pelo arquiteto Oscar Niemeyer, o museu de arte contemporânea (Mac) tornou-se um dos cartões-postais da cidade de Niterói. Considere que a forma da cúpula do Mac seja a de um tronco de cone circular reto, cujo diâmetro da base maior mede 50m e 12m é a distância entre as duas bases. A administração do museu deseja fazer uma reforma revitalizando o piso de seu pátio e, para isso, precisa estimar a sua área.
a) 100, 200
b) 300, 400
c) 600, 700
d) 900, 1.000
e) 1.000, 1.100
a) 100, 200
b) 300, 400
c) 600, 700
d) 900, 1.000
e) 1.000, 1.100
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a cúpula do museu MAC, que é modelada como um tronco de cone. As informações que temos são:
- Diâmetro da base maior: 50 metros
- Distância entre as duas bases (altura do tronco): 12 metros
A gente precisa calcular a área dessa cúpula para ajudar na reforma do pátio. Vamos usar geometria de cones truncados para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um tronco de cone. É como se fosse um cone cortado por um plano paralelo à base, formando duas bases circulares. Para calcular a área da superfície desse tronco, precisamos das áreas das duas bases e da área lateral.
Passo 3
Vamos começar calculando os raios das bases. O raio é metade do diâmetro:
- Raio da base maior ($ R $) = 50m / 2 = 25m
Mas a pergunta não deu o diâmetro da base menor. Parece que está faltando essa informação. Vou supor que precisamos apenas da área lateral, que não depende da base menor diretamente.
Passo 4
Para calcular a área lateral de um tronco de cone, usamos a fórmula:
Onde:
- $ R $ = raio da base maior = 25m
- $ r $ = raio da base menor (não fornecido)
- $ \ell $ = geratriz do tronco
Mas como não temos $ r $, vamos precisar encontrar mais informações ou talvez a pergunta queria apenas a área da base maior.
Passo 5
Como a distância entre as duas bases é 12m, isso é a altura do tronco ($ h
\ell $), usamos o teorema de Pitágoras:
Mas sem $ r $, não conseguimos continuar. Talvez a pergunta queira apenas calcular a área da base maior, que é:
Isso não está entre as opções, então precisamos reconsiderar.
Passo 6
Vamos supor que a cúpula é um tronco de cone onde a base menor tem diâmetro 30m (supondo uma redução). Então:
- Raio menor ($ r $) = 15m
Agora, calculamos a geratriz:
Passo 7
Agora, calculamos a área lateral:
Ainda está fora das opções. Parece que falta informação ou estamos interpretando errado.
Resposta
Com as informações fornecidas, a área estimada da cúpula do museu MAC é aproximadamente 1963,5 m². Nenhuma das opções fornecidas corresponde a esse valor.