Um projétil de
é lançado, do topo de um rochedo situado 125 m acima do chão, com uma velocidade inicial de
, fazendo um ângulo de
com a horizontal. (a) Qual é a energia cinética do projétil imediatamente após ter sido lançado, e (b) qual é a sua energia potencial em relação à base do rochedo? © Determine o módulo da velocidade do projétil imediatamente antes de atingir o solo. (d) Ignorando a resistência do ar, este resultado depende da massa do projétil?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um projétil de massa
sendo lançado do topo de um rochedo que está a
acima do chão. A velocidade inicial do projétil é de
, fazendo um ângulo de
com a horizontal.
Vamos resolver as seguintes partes:
a) Encontrar a energia cinética do projétil imediatamente após o lançamento.
b) Determinar a energia potencial do projétil em relação à base do rochedo.
c) Calcular o módulo da velocidade do projétil imediatamente antes de atingir o solo.
d) Verificar se, ignorando a resistência do ar, o resultado depende da massa do projétil.
a) Encontrar a energia cinética do projétil imediatamente após o lançamento.
b) Determinar a energia potencial do projétil em relação à base do rochedo.
c) Calcular o módulo da velocidade do projétil imediatamente antes de atingir o solo.
d) Verificar se, ignorando a resistência do ar, o resultado depende da massa do projétil.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética, energia potencial gravitacional e conservação da energia mecânica, além de algumas fórmulas básicas de física.
Passo 2
Parte a) Energia Cinética Imediatamente Após o Lançamento
A energia cinética (
) de um objeto em movimento é dada pela fórmula:
onde:
-
é a massa do objeto, -
é a velocidade.
Aqui, precisamos calcular a energia cinética logo após o lançamento, ou seja, com a velocidade inicial.
Cálculo:
Passo 3
Parte b) Energia Potencial em Relação à Base do Rochoso
A energia potencial gravitacional (
) é dada por:
onde:
-
é a massa, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura.
Nesse caso, a altura é a altura do rochedo mais a componente vertical da posição inicial.
Cálculo:
Passo 4
Parte c) Módulo da Velocidade Antes de Atingir o Solo
Para encontrar a velocidade antes de atingir o solo, vamos usar a conservação da energia mecânica, assumindo que não há resistência do ar.
A energia mecânica total no lançamento (
) é a soma da energia cinética inicial (
) e da energia potencial inicial (
). No solo, a energia mecânica total (
) será apenas a energia cinética, já que a altura é zero.
Então:
Portanto:
E como
, podemos resolver para
:
Cálculo:
Já calculamos e
.
Já calculamos
Passo 5
Parte d) Dependência do Resultado em Relação à Massa do Projétil
Na análise feita na parte c), a massa (
) aparece tanto no numerador quanto no denominador na fórmula para a velocidade:
Mas observando mais de perto,
depende da massa:
E
também depende da massa:
Então, substituindo:
Perceba que a massa
cancela na equação final, sobrando:
Portanto, a velocidade final não depende da massa do projétil.
Resposta
a) A energia cinética imediatamente após o lançamento é
.
b) A energia potencial em relação à base do rochedo é
.
c) O módulo da velocidade do projétil imediatamente antes de atingir o solo é aproximadamente
.
d) Não, o resultado não depende da massa do projétil quando ignoramos a resistência do ar.