Um projétil de 2,40 kg é lançado, do topo de um rochedo situado 125 m acima do chão, com uma velocidade inicial de 150 m / s, fazendo um ângulo de 41,0^circ com a horizontal. (a) Qual é a energia cinética do projétil imediatamente após ter sido lançado, e (b) qual é a sua energia potencial em relação à base do rochedo? © Determine o módulo da velocidade do projétil imediatamente antes de atingir o solo. (d) Ignorando a resistência do ar, este resultado depende da massa do projétil?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um projétil de massa 2,40 , kg sendo lançado do topo de um rochedo que está a 125 , m acima do chão. A velocidade inicial do projétil é de 150 , m/s, fazendo um ângulo de 41,0^circ com a horizontal.
Vamos resolver as seguintes partes:
a) Encontrar a energia cinética do projétil imediatamente após o lançamento.
b) Determinar a energia potencial do projétil em relação à base do rochedo.
c) Calcular o módulo da velocidade do projétil imediatamente antes de atingir o solo.
d) Verificar se, ignorando a resistência do ar, o resultado depende da massa do projétil.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética, energia potencial gravitacional e conservação da energia mecânica, além de algumas fórmulas básicas de física.

Passo 2

Parte a) Energia Cinética Imediatamente Após o Lançamento
A energia cinética ( Ec) de um objeto em movimento é dada pela fórmula:
Ec = 12 m v^2
onde:
  • m é a massa do objeto,
  • v é a velocidade.
Aqui, precisamos calcular a energia cinética logo após o lançamento, ou seja, com a velocidade inicial.
Cálculo:
Ec = 12 times 2,40 , kg times (150 , m/s)^2
Ec = 1,20 , kg times 22500 , m^2/s^2
Ec = 27000 , J

Passo 3

Parte b) Energia Potencial em Relação à Base do Rochoso
A energia potencial gravitacional ( Ep) é dada por:
Ep = m g h
onde:
  • m é a massa,
  • g é a aceleração da gravidade ( approx 9,81 , m/s^2),
  • h é a altura.
Nesse caso, a altura é a altura do rochedo mais a componente vertical da posição inicial.
Cálculo:
h = 125 , m
Ep = 2,40 , kg times 9,81 , m/s^2 times 125 , m
Ep = 2,40 times 9,81 times 125
Ep = 2,40 times 1226,25
Ep = 2943 , J

Passo 4

Parte c) Módulo da Velocidade Antes de Atingir o Solo
Para encontrar a velocidade antes de atingir o solo, vamos usar a conservação da energia mecânica, assumindo que não há resistência do ar.
A energia mecânica total no lançamento ( Em1) é a soma da energia cinética inicial ( Ec1) e da energia potencial inicial ( Ep1). No solo, a energia mecânica total ( Em2) será apenas a energia cinética, já que a altura é zero.
Então:
Em1 = Ec1 + Ep1 = Em2 = Ec2
Portanto:
Ec2 = Ec1 + Ep1
E como Ec2 = 12 m v^2, podemos resolver para v:
v = raiz2(Ec1 + Ep1)m
Cálculo:
Já calculamos Ec1 = 27000 , J e Ep1 = 2943 , J.
v = raiz2(27000 + 2943)2,40
v = raiz2(29943)2,40
v = raiz598862,40
v = raiz24952,5
v approx 158 , m/s

Passo 5

Parte d) Dependência do Resultado em Relação à Massa do Projétil
Na análise feita na parte c), a massa ( m) aparece tanto no numerador quanto no denominador na fórmula para a velocidade:
v = raiz2(Ec1 + Ep1)m
Mas observando mais de perto, Ec1 depende da massa:
Ec1 = 12 m v0^2
E Ep1 também depende da massa:
Ep = m g h
Então, substituindo:
v = raiz2(12 m v0^2 + m g h)m = raizm v0^2 + 2 m g hm = raizv0^2 + 2 g h
Perceba que a massa m cancela na equação final, sobrando:
v = raizv0^2 + 2 g h
Portanto, a velocidade final não depende da massa do projétil.

Resposta

a) A energia cinética imediatamente após o lançamento é 27,000 , J.
b) A energia potencial em relação à base do rochedo é 2,943 , J.
c) O módulo da velocidade do projétil imediatamente antes de atingir o solo é aproximadamente 158 , m/s.
d) Não, o resultado não depende da massa do projétil quando ignoramos a resistência do ar.

Exercícios relacionados