Um projétil é disparado do topo de uma colina de altura h=200 m sobre um vale. O módulo de sua velocidade inicial é vP=60,0 m / s e faz um ângulo de theta=60,0^circ acima da direção horizontal. Despreze a resistência do ar e coloque o sistema de referência com a origem no ponto onde o projétil é disparado, com o eixo x positivo apontando para a direita e o eixo y positivo apontando para cima. Assuma a aceleração da gravidade como g=9,80 m / s^2 :
r(t) & =v0 t+12 a t^2 r(t) & =vP cos theta t i+(vP sin theta t-g2 t^2) j (1 ponto) r(t) & =60,0 cos 60^circ t i+(60,0 sin 60^circ t-9,82 t^2) j (1 ponto)
Então:
r(t)=30,0 t i+(51,96 t-4,90 t^2) j m (1 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um projétil que é lançado do topo de uma colina com altura . A velocidade inicial do projétil é e ele é lançado com um ângulo de acima da horizontal. Queremos encontrar a posição do projétil em função do tempo, ou seja, .
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento projetil da física, que envolvem decompor a velocidade inicial nas direções horizontal (x) e vertical (y), e aplicar as equações do movimento uniformemente variado para cada direção.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial vx = vP cos theta nos componentes horizontal e vertical. Para isso, usamos as funções trigonométricas cosseno e seno:
vy = vP sin theta
vx = 60,0 , m/s times cos 60^circ = 60,0 times 0,5 = 30,0 , m/s
Onde:
  • vy = 60,0 , m/s times sin 60^circ = 60,0 times 0,8660 approx 51,96 , m/s é a componente da velocidade na direção x (horizontal).
  • é a componente da velocidade na direção y (vertical).
Substituindo os valores dados:

Passo 3

Agora, vamos usar as equações da posição para cada direção. A posição em função do tempo para o movimento com aceleração constante (no caso, a aceleração da gravidade na direção y) é dada por:
r(t) = v0 t + 12 a t^2
Onde:
  • x(t) = vx t = 30,0 , t , m é o vetor velocidade inicial.
  • y(t) = vy t - 12 g t^2 = 51,96 , t - 9,82 t^2 = 51,96 , t - 4,90 , t^2 , m é o vetor aceleração.
Para a direção x, não há aceleração (já que estamos desprezando a resistência do ar), então a posição fica apenas com a componente da velocidade inicial:
Para a direção y, temos a aceleração da gravidade atuando para baixo, então:

Passo 4

Juntando as duas componentes, podemos escrever o vetor posição completo r(t) = x(t) , i + y(t) , j = 30,0 , t , i + (51,96 , t - 4,90 , t^2) j , m como:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.

Resposta

A posição do projétil em função do tempo é:
r(t) = 30,0 , t , i + (51,96 , t - 4,90 , t^2) j , m

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