Um projétil é lançado obliquamente do solo de modo que sua vclocidade inicial faz 30^circ com a horizontal. Ele cai no solo após 6,0 s. Calcule o alcance horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento oblíquo! A gente tem um projétil lançado com uma velocidade inicial que faz um ângulo de 30^circ com a horizontal, e ele fica no ar por 6,0 s. Nosso objetivo é descobrir qual é o alcance horizontal, ou seja, quanta distância ele percorreu na horizontal antes de cair no chão. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre movimento vertical e horizontal de projéteis.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no movimento vertical. Sabemos que o tempo total de voo é de 6,0 s. No movimento vertical, o projétil sobe e depois desce, levando esse tempo todo para retornar ao solo. A fórmula para o tempo total de voo ( T) em um lançamento vertical é:
T = 2 vy0g
onde vy0 é a componente vertical da velocidade inicial e g é a aceleração da gravidade ( 9,8 m/s^2).

Passo 3

Vamos isolar vy0 na equação:
vy0 = g T2
Substituindo os valores:
vy0 = 9,8 times 6,02 = 58,82 = 29,4 m/s
Então, a componente vertical da velocidade inicial é 29,4 m/s.

Passo 4

Agora, sabemos que a velocidade inicial ( v0) e suas componentes vertical ( vy0) e horizontal ( vx0) estão relacionadas pelo ângulo de lançamento ( theta = 30^circ):
vy0 = v0 sin(theta)
Vamos isolar v0:
v0 = vy0sin(theta)
Substituindo os valores:
v0 = 29,4sin(30^circ) = 29,40,5 = 58,8 m/s
Então, a velocidade inicial é 58,8 m/s.

Passo 5

Com a velocidade inicial, podemos encontrar a componente horizontal ( vx0) usando o cosseno do ângulo:
vx0 = v0 cos(theta)
Substituindo os valores:
vx0 = 58,8 times cos(30^circ) = 58,8 times raiz32 approx 58,8 times 0,8660 approx 50,9 m/s
Então, a componente horizontal da velocidade é aproximadamente 50,9 m/s.

Passo 6

Finalmente, para encontrar o alcance horizontal ( R), multiplicamos a velocidade horizontal pelo tempo de voo:
R = vx0 times T = 50,9 times 6,0 approx 305,4 m

Resposta

O alcance horizontal do projétil é aproximadamente 305,4 metros.

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