(2,0 pts) Dado o campo vetorial
calcule, usando o Teorema de Green, a integral
, onde
é uma curva arbitrária fechada, simples e suave que circunda o ponto
orientada positivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial dado por
e precisamos calcular a integral de linha
, onde
é uma curva fechada que circunda o ponto
. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região interior da curva. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e calcular as derivadas parciais do nosso campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
de
Então, nossa tarefa é calcular essas derivadas parciais e depois integrar sobre a área dentro de
.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando
:
Usando a regra do quociente:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Passo 6
Agora, calculando
:
Novamente, usando a regra do quociente:
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Então, a expressão dentro da integral dupla é zero.
Passo 8
Aplicando agora o Teorema de Green, temos:
Portanto, a integral de linha ao redor da curva
é igual a zero.
Resposta
A integral
vale 0.