(2,0 pts) Dado o campo vetorial
F(x, y)=(y-2(x-2)^2+(y-2)^2, -x+2(x-2)^2+(y-2)^2) ,
calcule, usando o Teorema de Green, a integral integralC F cdot d r, onde C é uma curva arbitrária fechada, simples e suave que circunda o ponto P(2,2) orientada positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial dado por
F(x, y)=(y-2(x-2)^2+(y-2)^2, -x+2(x-2)^2+(y-2)^2)
e precisamos calcular a integral de linha , onde é uma curva fechada que circunda o ponto . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região interior da curva. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e calcular as derivadas parciais do nosso campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial partial Qpartial x - partial Ppartial y , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região limitada por de
Então, nossa tarefa é calcular essas derivadas parciais e depois integrar sobre a área dentro de .

Passo 3

Vamos identificar P(x, y) = y-2(x-2)^2+(y-2)^2, Q(x, y) = -x+2(x-2)^2+(y-2)^2 e no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular e .

Passo 4

Calculando partial Qpartial x = partialpartial x ( -x+2(x-2)^2 + (y-2)^2 ) :
partial Qpartial x = -(1) cdot [(x-2)^2 + (y-2)^2] - (-x+2) cdot 2(x-2)[(x-2)^2 + (y-2)^2]^2
Usando a regra do quociente:

Passo 5

Simplificando a expressão:
partial Qpartial x = -[(x-2)^2 + (y-2)^2] + 2(x-2)(x-2) [(x-2)^2 + (y-2)^2]^2
= - (x-2)^2 - (y-2)^2 + 2(x-2)^2 [(x-2)^2 + (y-2)^2]^2
= (x-2)^2 - (y-2)^2 [(x-2)^2 + (y-2)^2]^2

Passo 6

Agora, calculando partial Ppartial y = partialpartial y ( y-2(x-2)^2 + (y-2)^2 ) :
partial Ppartial y = 1 cdot [(x-2)^2 + (y-2)^2] - (y-2) cdot 2(y-2)[(x-2)^2 + (y-2)^2]^2
Novamente, usando a regra do quociente:
= (x-2)^2 + (y-2)^2 - 2(y-2)^2 [(x-2)^2 + (y-2)^2]^2
= (x-2)^2 - (y-2)^2 [(x-2)^2 + (y-2)^2]^2

Passo 7

Agora, vamos calcular partial Qpartial x - partial Ppartial y = (x-2)^2 - (y-2)^2 [(x-2)^2 + (y-2)^2]^2 - (x-2)^2 - (y-2)^2 [(x-2)^2 + (y-2)^2]^2 = 0 :
Então, a expressão dentro da integral dupla é zero.

Passo 8

Aplicando agora o Teorema de Green, temos:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx dy = integral duplaD 0 , dx dy = 0
Portanto, a integral de linha ao redor da curva é igual a zero.

Resposta

A integral vale 0.

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