Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de . Pela física, sabemos que sua distância acima do solo após segundos é .
Determine em que instante e com que velocidade o projétil atinge o solo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um projétil lançado para cima com uma velocidade inicial de . A função que descreve a altura do projétil após segundos é . Nosso objetivo é descobrir em que momento o projétil volta para o solo e com que velocidade isso acontece. Para isso, vamos precisar resolver uma equação quadrática e depois usar o conceito de derivada para encontrar a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o instante em que o projétil atinge o solo. Isso acontece quando a altura é zero. Então, precisamos resolver a equação:
Vamos fatorar para facilitar:
Isso nos dá duas soluções: (quando o projétil foi lançado) e .

Passo 3

Agora, vamos resolver para encontrar o tempo quando o projétil retorna ao solo:
Então, o projétil atinge o solo novamente após aproximadamente segundos.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a velocidade do projétil nesse instante. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. A função da velocidade é:
Vamos substituir segundos na função da velocidade:
O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo quando o projétil atinge o solo.

Resposta

O projétil atinge o solo após aproximadamente segundos com uma velocidade de , indicando que está descendo.

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Verifique que
Verifique que para todo real.