Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de
. Pela física, sabemos que sua distância acima do solo após
segundos é
.
Determine em que instante e com que velocidade o projétil atinge o solo.
Determine em que instante e com que velocidade o projétil atinge o solo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um projétil lançado para cima com uma velocidade inicial de
. A função que descreve a altura do projétil após
segundos é
. Nosso objetivo é descobrir em que momento o projétil volta para o solo e com que velocidade isso acontece. Para isso, vamos precisar resolver uma equação quadrática e depois usar o conceito de derivada para encontrar a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o instante em que o projétil atinge o solo. Isso acontece quando a altura
é zero. Então, precisamos resolver a equação:
Vamos fatorar
para facilitar:
Isso nos dá duas soluções:
(quando o projétil foi lançado) e
.
Passo 3
Agora, vamos resolver
para encontrar o tempo quando o projétil retorna ao solo:
Então, o projétil atinge o solo novamente após aproximadamente
segundos.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a velocidade do projétil nesse instante. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. A função da velocidade
é:
Vamos substituir
segundos na função da velocidade:
O sinal negativo indica que a velocidade está direcionada para baixo quando o projétil atinge o solo.
Resposta
O projétil atinge o solo após aproximadamente
segundos com uma velocidade de
, indicando que está descendo.
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8j
9a
Verifique que
Verifique que
para todo
real.