Verifique que
para todo
real.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar que a derivada de
em relação a
é igual a
para qualquer número real
. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação de funções potências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que seja mais fácil de derivar. Podemos expressá-la como
. Isso nos ajuda a aplicar a regra da potência de forma direta.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da regra de derivação para funções da forma
, onde
é um número real. A regra diz que:
Essa regra nos permite encontrar a derivada de
.
Passo 4
Aplicando a regra da potência à nossa função
, temos:
Aqui, multiplicamos o expoente
pelo
elevado a
.
Passo 5
Por fim, podemos reescrever a expressão obtida para ficar mais clara:
Isso nos mostra que a derivada de
realmente é
.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Verifique que
Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de
. Pela física, sabemos que sua distância acima do solo após
segundos é
.
Determine em que instante e com que velocidade o projétil atinge o solo.
Determine em que instante e com que velocidade o projétil atinge o solo.
Verifique que
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