Verifique que d/dx (1/x^alpha) = -alpha/x^(alpha+1) para todo alpha real.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar que a derivada de em relação a é igual a para qualquer número real . Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação de funções potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que seja mais fácil de derivar. Podemos expressá-la como . Isso nos ajuda a aplicar a regra da potência de forma direta.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra de derivação para funções da forma , onde é um número real. A regra diz que:
Essa regra nos permite encontrar a derivada de .

Passo 4

Aplicando a regra da potência à nossa função , temos:
Aqui, multiplicamos o expoente pelo elevado a .

Passo 5

Por fim, podemos reescrever a expressão obtida para ficar mais clara:
Isso nos mostra que a derivada de realmente é .

Resposta

Portanto, .

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