8j
9a
não é contínua em
8j
9a
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três partes aqui:
- A expressão matemática
provavelmente quer que a gente faça algo como calcular a derivada. - A expressão
também parece ser para derivação. - A afirmação de que a função
não é contínua em , o que envolve conceitos de continuidade.
Vamos precisar usar as regras de derivação da matemática e entender o que significa uma função ser contínua ou não em um ponto específico.
Passo 2
Vamos começar com a primeira expressão:
.
Para encontrar a derivada dessa função em relação a
, vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro, a derivada de
:
- A regra básica é que a derivada de
é . - Então, derivo
: multiplico o coeficiente 3 pelo expoente 2 e reduzo o expoente em 1. -
.
Agora, a derivada de
:
- Podemos reescrever
como . - Aplicando a regra da potência:
. - Portanto, a derivada de
é (porque o negativo já está incluído).
Passo 3
Juntando as duas derivadas que calculamos:
- Derivada de
é . - Derivada de
é ou, de forma equivalente, .
Então, a derivada total da função
é:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda expressão:
.
Queremos encontrar a derivada dessa função. Aqui, usamos a regra do produto, que é necessária quando temos duas funções multiplicando uma à outra.
A regra do produto diz:
Vamos identificar
e
.
Primeiro, derivamos
e
:
- Derivada de
é (pois a derivada da exponencial é ela mesma). - Derivada de
é (derivada de é 1, e derivada de uma constante é 0).
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Por fim, vamos falar sobre a afirmação de que a função
não é contínua em
.
Continuity (continuidade) de uma função em um ponto significa que o limite da função quando
se aproxima desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto.
Dizer que
não é contínua em
significa que pelo menos uma dessas condições falha:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de 1 existe. - O limite de
quando se aproxima de 1 é igual a .
Se qualquer uma dessas não for verdadeira, a função não é contínua nesse ponto. Por exemplo, pode haver um “buraco” na função, uma assíntota, ou uma descontinuidade tipo salto.
Resposta
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A função
não é contínua em porque pelo menos uma das condições de continuidade falha nesse ponto.
Exercícios relacionados
Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de
. Pela física, sabemos que sua distância acima do solo após
segundos é
.
Determine em que instante e com que velocidade o projétil atinge o solo.
Determine em que instante e com que velocidade o projétil atinge o solo.
Verifique que