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não é contínua em

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três partes aqui:
  1. A expressão matemática provavelmente quer que a gente faça algo como calcular a derivada.
  2. A expressão também parece ser para derivação.
  3. A afirmação de que a função não é contínua em , o que envolve conceitos de continuidade.
Vamos precisar usar as regras de derivação da matemática e entender o que significa uma função ser contínua ou não em um ponto específico.

Passo 2

Vamos começar com a primeira expressão: .
Para encontrar a derivada dessa função em relação a , vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro, a derivada de :
  • A regra básica é que a derivada de é .
  • Então, derivo : multiplico o coeficiente 3 pelo expoente 2 e reduzo o expoente em 1.
  • .
Agora, a derivada de :
  • Podemos reescrever como .
  • Aplicando a regra da potência: .
  • Portanto, a derivada de é (porque o negativo já está incluído).

Passo 3

Juntando as duas derivadas que calculamos:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é ou, de forma equivalente, .
Então, a derivada total da função é:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda expressão: .
Queremos encontrar a derivada dessa função. Aqui, usamos a regra do produto, que é necessária quando temos duas funções multiplicando uma à outra.
A regra do produto diz:
Vamos identificar e .
Primeiro, derivamos e :
  • Derivada de é (pois a derivada da exponencial é ela mesma).
  • Derivada de é (derivada de é 1, e derivada de uma constante é 0).
Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Por fim, vamos falar sobre a afirmação de que a função não é contínua em .
Continuity (continuidade) de uma função em um ponto significa que o limite da função quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto.
Dizer que não é contínua em significa que pelo menos uma dessas condições falha:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de 1 existe.
  3. O limite de quando se aproxima de 1 é igual a .
Se qualquer uma dessas não for verdadeira, a função não é contínua nesse ponto. Por exemplo, pode haver um “buraco” na função, uma assíntota, ou uma descontinuidade tipo salto.

Resposta

  1. A derivada de é .
  2. A derivada de é .
  3. A função não é contínua em porque pelo menos uma das condições de continuidade falha nesse ponto.

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