Para o projétil do problema 2, suponha que m=0,1 kg, b=0,008 Kg / s e que v0=30 m / s com ângulo de lançamento de 60^circ.
b) Calcule a altura máxima do projétil a partir das equações vz(t) e z(t);

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente calcular a altura máxima que um projétil atinge. Estamos trabalhando com movimento de projéteis e considerando a resistência do ar. Para resolver isso, vamos usar as equações da velocidade vertical e da posição vertical do projétil ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações envolvidas. A velocidade vertical vz(t) = (v0z + mgb) e^-bm t - mgb do projétil com resistência do ar é influenciada pela gravidade e pela força de arrasto, que é proporcional à velocidade. A equação para é:
Aqui:
  • é a componente vertical da velocidade inicial.
  • é a massa do projétil.
  • é o coeficiente de resistência do ar.
  • é a aceleração da gravidade.
  • é o tempo.
A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical é zero, ou seja, o projétil para de subir.

Passo 3

Vamos encontrar o tempo 0 = (v0z + mgb) e^-bm t - mgb em que :
Vamos resolver essa equa�o para .

Passo 4

Isolando o termo exponencial:
(v0z + mgb) e^-bm t = mgb
Dividindo ambos os lados por e^-bm t = mgb v0z + mg :
-bm t = ln(mgb v0z + mg)
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para t = mb ln(1 + b v0zmg) :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Com o tempo z(t) = m (v0z + mgb)b (1 - e^-bm t) - mgb t encontrado, vamos usar a equação da posição vertical zmax = m (v0z + mgb)b (1 - mgb v0z + mg) - mgb cdot mb ln(1 + b v0zmg) para encontrar a altura máxima:
zmax = m v0zb - m^2 gb^2 ln(1 + b v0zmg)
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores numéricos dados no exercício:
  • v0z = v0 sin(theta) = 30 times sin(60^circ) approx 30 times 0,8660 approx 25,98 , m/s
  • zmax = 0,1 times 25,980,008 - 0,1^2 times 9,80,008^2 ln(1 + 0,008 times 25,980,1 times 9,8)
  • 0,1 times 25,980,008 = 2,5980,008 = 324,75 , m
  • 0,1^2 times 9,80,008^2 = 0,01 times 9,80,000064 = 0,0980,000064 approx 1531,25
  • ln(1 + 0,008 times 25,980,98) = ln(1 + 0,207840,98) = ln(1,2121) approx 0,192
Primeiro, calculamos 1531,25 times 0,192 approx 294 , m :
zmax = 324,75 - 294 approx 30,75 , m
Agora, substituindo na equação da altura máxima:
Calculando cada parte:
Multiplicando:
Finalmente:

Resposta

A altura máxima do projétil é aproximadamente .

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