Um projetista de páginas da internet cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição
, onde o tempo té dado em segundos. Determine: O vetor aceleração instantânea, seu módulo e seu ângulo no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a posição de um ponto na tela de um computador em função do tempo. A equação da posição é dada por:
Estamos no conteúdo de Movimento Vetorial, especificamente analisando a posição, velocidade e aceleração de um objeto. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da posição em relação ao tempo para achar a velocidade e a aceleração. Depois, determinaremos o módulo da aceleração e o ângulo que ela forma no instante
segundos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade do ponto. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivando cada componente da posição:
Para a componente
:
Para a componente
:
Assim, a velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Novamente, derivando cada componente da velocidade:
Para a componente
:
Para a componente
:
Assim, a aceleração é:
Passo 4
Vamos determinar o módulo da aceleração no instante
segundos. O módulo de um vetor aceleração é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 5
Por fim, vamos calcular o ângulo que a aceleração forma com o eixo
(eixo x). O ângulo
pode ser encontrado usando a função tangente:
Quando a tangente é zero, o ângulo
é
ou
. Como a componente
é negativa, o vetor aceleração está apontando diretamente para a esquerda no eixo x, então:
Resposta
O vetor aceleração instantânea no instante
s é
cm/s². Seu módulo é
cm/s² e o ângulo formado com o eixo x é
.