Um projetista de páginas da internet cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição r=[(5,0-2,0 t^2) i+5,0 t j] cm, onde o tempo té dado em segundos. Determine: O vetor aceleração instantânea, seu módulo e seu ângulo no instante t=2,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a posição de um ponto na tela de um computador em função do tempo. A equação da posição é dada por:
r(t) = [ (5,0 - 2,0 t^2) i + 5,0 t j ] cm
Estamos no conteúdo de Movimento Vetorial, especificamente analisando a posição, velocidade e aceleração de um objeto. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da posição em relação ao tempo para achar a velocidade e a aceleração. Depois, determinaremos o módulo da aceleração e o ângulo que ela forma no instante segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do ponto. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivando cada componente da posição:
Para a componente vx(t) = ddt (5,0 - 2,0 t^2) = -4,0 t , cm/s :
vy(t) = ddt (5,0 t) = 5,0 , cm/s
Para a componente v(t) = ( -4,0 t , i + 5,0 , j ) cm/s :
Assim, a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Novamente, derivando cada componente da velocidade:
Para a componente ax(t) = ddt (-4,0 t) = -4,0 , cm/s^2 :
ay(t) = ddt (5,0) = 0 , cm/s^2
Para a componente a(t) = ( -4,0 , i + 0 , j ) cm/s^2 :
Assim, a aceleração é:

Passo 4

Vamos determinar o módulo da aceleração no instante |a| = raizax^2 + ay^2 segundos. O módulo de um vetor aceleração é dado por:
|a| = raiz(-4,0)^2 + 0^2 = raiz16,0 = 4,0 , cm/s^2
Substituindo os valores:

Passo 5

Por fim, vamos calcular o ângulo que a aceleração forma com o eixo tan(theta) = ayax = 0-4,0 = 0 (eixo x). O ângulo theta = 180^circ pode ser encontrado usando a função tangente:
Quando a tangente é zero, o ângulo é ou . Como a componente é negativa, o vetor aceleração está apontando diretamente para a esquerda no eixo x, então:

Resposta

O vetor aceleração instantânea no instante s é cm/s². Seu módulo é cm/s² e o ângulo formado com o eixo x é .

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