Um projeto fixou a velocidade V1 para uma vazão Q1, originando um diâmetro D1. Mantendo-se V1 e duplicando-se Q1, demonstre que o diâmetro terá que aumentar 41 %.

Resposta: D2=1,41 D1 ( D2 é 41 % maior que o D1 )

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um projeto onde a velocidade da água, chamada de V1, está fixa para uma determinada vazão Q1. Isso resulta em um diâmetro de tubo D1. A questão quer saber o que acontece com o diâmetro se a vazão dobra, ou seja, passa a ser 2Q1, mantendo a mesma velocidade V1. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da continuidade na hidráulica, que relaciona vazão, velocidade e área da seção transversal do tubo.

Passo 2

A equação da continuidade nos diz que a vazão Q é igual ao produto da velocidade V pela área da seção transversal A do tubo:
Q = V times A
Como a área A de um tubo circular está relacionada ao diâmetro D pela fórmula:
A = pi D^24
Podemos reescrever a equação da continuidade em termos do diâmetro:
Q = V times pi D^24

Passo 3

Vamos aplicar a equação da continuidade para as duas situações: antes e depois da mudança na vazão.
Antes:
Q1 = V1 times pi D1^24
Depois:
2Q1 = V1 times pi D2^24

Passo 4

Agora, vamos dividir a equação depois pela equação antes para simplificar e encontrar a relação entre D2 e D1:
2Q1Q1 = V1 times pi D2^24V1 times pi D1^24
Simplificando:
2 = D2^2D1^2

Passo 5

Para encontrar D2, tiramos a raiz quadrada dos dois lados da equação:
raiz2 = D2D1
Então:
D2 = D1 times raiz2
Calculando o valor:
raiz2 approx 1,414
Portanto:
D2 approx 1,414 times D1

Resposta

O diâmetro terá que aumentar aproximadamente 41%, ou seja:
D2 = 1,41 , D1

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