Um projeto fixou a velocidade para uma vazão , originando um diâmetro . Mantendo-se e duplicando-se , demonstre que o diâmetro terá que aumentar .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos diz que em um projeto a velocidade da água, chamada de , foi fixa para uma certa vazão , resultando em um diâmetro de tubo . Agora, queremos saber o quanto esse diâmetro precisa aumentar quando a vazão é dobrada, ou seja, passa a ser , mantendo a mesma velocidade . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de hidráulica dos fluidos, especificamente a relação entre vazão, velocidade e diâmetro em tubos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula que relaciona vazão ( ), velocidade ( ) e área da seção transversal ( ) de um tubo:
Como estamos lidando com um tubo circular, a área da seção transversal é dada por:
Portanto, a vazão também pode ser expressa em termos do diâmetro:

Passo 3

No primeiro cenário, temos a velocidade , a vazão e o diâmetro . A equação fica:
No segundo cenário, a vazão dobra para , a velocidade permanece e o diâmetro passa a ser . A equação fica:

Passo 4

Agora, vamos dividir a segunda equação pela primeira para simplificar:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar a relação entre e , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Portanto:

Resposta

O diâmetro precisa aumentar aproximadamente para acomodar a duplicação da vazão mantendo a mesma velocidade.

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