Uma tubulação vertical de 150 mm de diâmetro apresenta, em um pequeno trecho, uma seção contraída de 75 mm , onde a pressão é de 10,3 mca. A três metros acima desse ponto, a pressão eleva-se para 14,7 mca. Desprezando as perdas de carga, calcule a vazão e a velocidade ao longo do tubo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tubo vertical com diâmetros diferentes e pressões em dois pontos distintos. O objetivo é encontrar a vazão e a velocidade do fluido ao longo do tubo. Para isso, vamos usar a Equação de Bernoulli e a Equação de Continuidade. Vamos precisar das informações sobre diâmetros, pressões e alturas fornecidas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos que vamos analisar. Vamos chamar o ponto com diâmetro de 75 mm (a seção contraída) de Ponto 1 e o ponto três metros acima, com diâmetro de 150 mm, de Ponto 2.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Equação de Bernoulli entre o Ponto 1 e o Ponto 2. A fórmula fica assim:
P1 + rho g h1 + 12 rho v1^2 = P2 + rho g h2 + 12 rho v2^2
Onde:
  • é a pressão no ponto
  • é a densidade do fluido (água, vamos considerar )
  • é a aceleração da gravidade ( )
  • é a altura
  • é a velocidade do fluido

Passo 4

Vamos também usar a Equação de Continuidade, que nos diz que a vazão é constante ao longo do tubo. Ela é dada por:
A1 v1 = A2 v2
Onde é a área da seção do tubo. Como os diâmetros são diferentes nos dois pontos, as áreas também serão diferentes.

Passo 5

Vamos calcular as áreas das seções:
A1 = pi ( D12 )^2 = pi ( 0,0752 )^2 approx 0,00442 , m^2
A2 = pi ( D22 )^2 = pi ( 0,1502 )^2 approx 0,01767 , m^2

Passo 6

Vamos rearranjar a Equação de Continuidade para encontrar v2 = A1A2 v1 = 0,004420,01767 v1 approx 0,25 v1 em função de :

Passo 7

Agora, vamos substituir P1 + rho g h1 + 12 rho v1^2 = P2 + rho g h2 + 12 rho (0,25 v1)^2 na Equação de Bernoulli:
P1 - P2 + rho g (h1 - h2) = 12 rho v1^2 ( (0,25)^2 - 1 )
Simplificando:

Passo 8

Vamos calcular a diferença de pressão e altura. Convertendo as pressões de metros de coluna de água (mca) para pascal:
P1 = 10,3 , mca times 1000 times 9,81 = 100.743 , Pa
P2 = 14,7 , mca times 1000 times 9,81 = 144.057 , Pa
A diferença de altura é de 3 metros:
h1 - h2 = -3 , m (porque Ponto 1 está abaixo do Ponto 2) á

Passo 9

Substituindo os valores na equação:
100.743 - 144.057 + 1000 times 9,81 times (-3) = 12 times 1000 times v1^2 ( 0,0625 - 1 )
Calculando:
-43.314 - 29.430 = -468,75 v1^2
-72.744 = -468,75 v1^2
v1^2 = 72.744468,75 approx 0,1552
v1 approx raiz0,1552 approx 0,394 , m/s

Passo 10

Agora que temos v2 = 0,25 times 0,394 approx 0,0985 , m/s , podemos encontrar :

Resposta

A vazão do fluido é aproximadamente e as velocidades ao longo do tubo são na seção de 75 mm e na seção de 150 mm.

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