Quais as propriedades do determinante?

Passo 1

Vamos lá! Você me perguntou sobre as propriedades do determinante. Isso faz parte do estudo de álgebra linear, onde o determinante é uma função que associa uma matriz quadrada a um número real (ou complexo). Para entender e resolver essa questão, vamos precisar conhecer as principais propriedades que o determinante possui.

Passo 2

Primeira propriedade: Determinante de uma matriz identidade. A matriz identidade, que tem 1’s na diagonal principal e 0’s nas demais posições, sempre tem determinante igual a 1. Isso porque não altera o espaço quando aplicada em uma transformação linear.

Passo 3

Segunda propriedade: Multiplicação por um escalar. Se você multiplica uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número , o determinante da matriz resultante será vezes o determinante da matriz original. Ou seja, multiplicar uma linha por escala o determinante por .

Passo 4

Terceira propriedade: Troca de linhas. Se você troca duas linhas (ou colunas) de uma matriz, o sinal do determinante muda. Por exemplo, se o determinante original era , após a troca será .

Passo 5

Quarta propriedade: Matriz triangular. O determinante de uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo ou acima da diagonal principal são zero) é igual ao produto dos elementos na diagonal principal. Isso simplifica bastante o cálculo do determinante.

Passo 6

Quinta propriedade: Determinante do produto. O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes. Em fórmula, .

Passo 7

Sexta propriedade: Matriz transposta. O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Ou seja, .

Passo 8

Sétima propriedade: Matriz invertível. Uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Além disso, o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original: .

Resposta

As principais propriedades do determinante são:
  1. Determinante da matriz identidade: .
  2. Multiplicação por um escalar: Multiplicar uma linha por multiplica o determinante por .
  3. Troca de linhas: Trocar duas linhas inverte o sinal do determinante.
  4. Matriz triangular: é o produto dos elementos da diagonal principal.
  5. Determinante do produto: .
  6. Matriz transposta: .
  7. Matriz invertível: e .

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Qual a definição de matriz invertível?
Usando as propriedades do determinante, calcule o determinante das matrizes:
a)
Calcule a inversa de cada matriz, caso exista.
.
Sejam e . Mostre que .