Os prótons podem ser acelerados, até atingirem velocidades próximas à da luz, em aceleradores de partículas.
(a) Estime o comprimento de onda (em nm) de um desses prótons movendo-se a 2.90 times 10^8 ms^-1. (massa do próton =1.673 times 10^-27 kg ). Observe que, como as unidades da constante de Planck são J cdot s, m deve estar em kg e u deve estar em m s^-1(1 J=1 kg cdot m^2 s^-2).
(b) Calcule a energia, em joule, de um próton associado a esse comprimento de onda encontrado em (a) calcule a energia de um próton pela equação Planck e compare com a energia cinética do mesmo próton? (sugestão para calcular a energia cinética utilize a equação Ec=12 m v^2 ).
© Calcule a energia de um mol de próton encontrado em (b) pela equação Planck.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre prótons acelerados a velocidades próximas à da luz em aceleradores de partículas. Vamos precisar usar conceitos de física quântica e mecânica clássica, como comprimento de onda de De Broglie e energia cinética. Para isso, vamos precisar das fórmulas da constante de Planck, da equação de De Broglie e da energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos estimar o comprimento de onda do próton que está se movendo a lambda = hp metros por segundo. Para isso, usamos a fórmula de De Broglie:
p = m times v
onde p = 1.673 times 10^-27 kg times 2.90 times 10^8 m/s = 4.85 times 10^-19 kg cdot m/s é o comprimento de onda, lambda = 6.626 times 10^-34 J cdot s4.85 times 10^-19 kg cdot m/s approx 1.366 times 10^-15 m é a constante de Planck ( lambda approx 1.366 times 10^-6 nm ) e é o momento do próton. O momento é dado por:
Substituindo os valores:
Agora, calculamos o comprimento de onda:
Convertendo para nanômetros ( ):

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia do próton associada a esse comprimento de onda usando a equação de Planck:
E = h times clambda
Aqui, E = 6.626 times 10^-34 J cdot s times 3.00 times 10^8 m/s1.366 times 10^-15 m approx 1.45 times 10^-10 J é a velocidade da luz ( Ec = 12 m v^2 ). Substituindo os valores:
Ec = 12 times 1.673 times 10^-27 kg times (2.90 times 10^8 m/s)^2 approx 7.06 times 10^-12 J
Agora, vamos calcular a energia cinética do próton usando a fórmula clássica:
E approx 1.45 times 10^-10 J e Ec approx 7.06 times 10^-12 J
Substituindo:
Comparando as duas energias:
Vemos que a energia calculada pela equação de Planck é maior que a energia cinética clássica.

Passo 4

Por fim, vamos calcular a energia de um mol de prótons. Sabemos que 1 mol contém Emol = E times NA = 1.45 times 10^-10 J times 6.022 times 10^23 approx 8.73 times 10^13 J prótons (número de Avogadro). Usando a energia calculada anteriormente:

Resposta

(a) O comprimento de onda do próton é aproximadamente nm.
(b) A energia do próton calculada pela equação de Planck é J, que é maior que a energia cinética do próton, que é J.
© A energia de um mol de prótons é aproximadamente J.

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