[Prova - 2004] Considere que um determinado fluido obedece à equação do virial truncada no segundo termo:
P=R TV(1+B(T)V)
com o segundo coeficiente do virial dado por:
B(T)=b0+b1T
e com CP no estado de gás ideal dado por:
CP=a0+a1 T
apresente uma equação para a variação de entropia nesse sistema, ou seja, S(T2, V2)-S(T1, V1).
A forma final das equações deve ser escrita em função de variáveis de estado (temperatura, volume ou pressão) e dos parâmetros das equações volumétrica e de calor específico. Não deixe passagens indicadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar como a entropia muda quando a temperatura e o volume mudam de um estado inicial para um estado final. A matéria envolve termodinâmica, especificamente as equações do virial e calor específico a pressão constante. Vamos precisar entender como relacionar pressão, temperatura e volume usando a equação do virial, e também como o calor específico afeta a entropia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a variação de entropia $ \Delta S $ pode ser calculada usando a seguinte expressão:
De
Aqui, $ C_P $ é o calor específico a pressão constante, e $ P $ é a pressão.

Passo 3

Vamos substituir $ C_P $ pela expressão dada no enunciado:
CP
Assim, a primeira integral fica:
CP = a0 + a1 T
Essa integral é fácil de resolver:
integralT1^T2 a0 + a1 TT dT = integralT1^T2 ( a0T + a1 ) dT

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral. Precisamos da derivada parcial de $ P $ em relação a $ T $ a volume constante. A equação do virial é:
P
Com $ B(T) = b_0 + \frac{b_1}{T} $. Vamos derivar $ P $ em relação a $ T $:
T
Calculando $ \frac{dB(T)}{dT} $:
P = R TV (1 + B(T)V)
Então:
B(T) = b0 + b1T

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a $ V $ de $ V_1 $ a $ V_2 $:
V
Vamos separar as integrais:
V1
Resolvendo cada parte:
V2
Simplificando:
integralV1^V2 ( RV (1 + b0 + b1TV) - R b1T V^2 ) dV

Passo 6

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
De

Resposta

A variação de entropia é dada por
De

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