[Prova - 2004] Considere que um determinado fluido obedece à equação do virial truncada no segundo termo:
com o segundo coeficiente do virial dado por:
e
no estado de gás ideal dado por:
apresente uma equação para a variação de entropia nesse sistema, ou seja,
.
A forma final das equações deve ser escrita em função de variáveis de estado (temperatura, volume ou pressão) e dos parâmetros das equações volumétrica e de calor específico. Não deixe passagens indicadas.
A forma final das equações deve ser escrita em função de variáveis de estado (temperatura, volume ou pressão) e dos parâmetros das equações volumétrica e de calor específico. Não deixe passagens indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar como a entropia muda quando a temperatura e o volume mudam de um estado inicial para um estado final. A matéria envolve termodinâmica, especificamente as equações do virial e calor específico a pressão constante. Vamos precisar entender como relacionar pressão, temperatura e volume usando a equação do virial, e também como o calor específico afeta a entropia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a variação de entropia $ \Delta S $ pode ser calculada usando a seguinte expressão:
Aqui, $ C_P $ é o calor específico a pressão constante, e $ P $ é a pressão.
Passo 3
Vamos substituir $ C_P $ pela expressão dada no enunciado:
Assim, a primeira integral fica:
Essa integral é fácil de resolver:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda integral. Precisamos da derivada parcial de $ P $ em relação a $ T $ a volume constante. A equação do virial é:
Com $ B(T) = b_0 + \frac{b_1}{T} $. Vamos derivar $ P $ em relação a $ T $:
Calculando $ \frac{dB(T)}{dT} $:
Então:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a $ V $ de $ V_1 $ a $ V_2 $:
Vamos separar as integrais:
Resolvendo cada parte:
Simplificando:
Passo 6
Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Resposta
A variação de entropia é dada por