[Prova - 2004] Considere que um determinado fluido obedece à equação do virial truncada no segundo termo:
com o segundo coeficiente do virial dado por:
e
no estado de gás ideal dado por:
Esse fluido sofre uma expansão isoentálpica em uma válvula, indo de uma pressão
e uma temperatura
até a pressão atmosférica. Mostre de que maneira você calcularia a temperatura de saída do fluido, apresentando as formas completas das equações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a temperatura de saída de um fluido que sofre uma expansão isoentálpica (isto é, com entalpia constante) através de uma válvula. Para isso, usamos a equação do virial truncada no segundo termo, que nos ajuda a relacionar pressão, volume e temperatura de um fluido real. Além disso, temos a capacidade calorífica a pressão constante para um gás ideal. Vamos precisar entender essas equações e como aplicá-las para encontrar a temperatura final do fluido após a expansão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação do virial truncada no segundo termo:
Aqui, $ P $ é a pressão, $ T $ a temperatura, $ V $ o volume, $ R $ a constante dos gases e $ B(T) $ o segundo coeficiente de virial, que nos dá uma ideia das interações entre as moléculas do fluido.
O segundo coeficiente de virial é dado por:
E a capacidade calorífica a pressão constante para um gás ideal é:
Passo 3
Como o processo é isoentálpico (entalpia constante), precisamos relacionar as entalpias inicial e final. A entalpia $ H $ de um gás pode ser expressa como:
Então, para a condição inicial e final, temos:
Como a entalpia é constante:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar as condições iniciais e finais usando a equação do virial. Inicialmente, temos pressão $ P_1 $, temperatura $ T_1 $ e volume $ V_1 $:
Após a expansão, a pressão é atmosférica $ P_2 $, e queremos encontrar a temperatura $ T_2 $. O volume final é $ V_2 $:
Passo 5
Assumindo que a quantidade de matéria permanece constante durante a expansão, podemos usar a relação de $ V_2 $ em termos de $ V_1 $, mas como não temos mais informações sobre volumes, vamos focar na relação de entalpia constante. Igualando as duas expressões de entalpia:
Essa equação pode ser reorganizada para resolver $ T_2 $:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática em $ T_2 $:
Podemos reescrever como:
Subtraindo ambos os lados:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática $ a_1 T_2^2 + a_0 T_2 - (a_1 T_1^2 + a_0 T_1) = 0 $:
Como a temperatura não pode ser negativa, consideramos apenas a solução positiva:
Resposta
A temperatura de saída do fluido após a expansão isoentálpica é dada por: