[Prova - 2004] Considere que um determinado fluido obedece à equação do virial truncada no segundo termo:
P=R TV(1+B(T)V)
com o segundo coeficiente do virial dado por:
B(T)=b0+b1T
e com CP no estado de gás ideal dado por:
CP=a0+a1 T
Esse fluido sofre uma expansão isoentálpica em uma válvula, indo de uma pressão P1 e uma temperatura T1 até a pressão atmosférica. Mostre de que maneira você calcularia a temperatura de saída do fluido, apresentando as formas completas das equações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a temperatura de saída de um fluido que sofre uma expansão isoentálpica (isto é, com entalpia constante) através de uma válvula. Para isso, usamos a equação do virial truncada no segundo termo, que nos ajuda a relacionar pressão, volume e temperatura de um fluido real. Além disso, temos a capacidade calorífica a pressão constante para um gás ideal. Vamos precisar entender essas equações e como aplicá-las para encontrar a temperatura final do fluido após a expansão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação do virial truncada no segundo termo:
P = R TV (1 + B(T)V)
Aqui, $ P $ é a pressão, $ T $ a temperatura, $ V $ o volume, $ R $ a constante dos gases e $ B(T) $ o segundo coeficiente de virial, que nos dá uma ideia das interações entre as moléculas do fluido.
O segundo coeficiente de virial é dado por:
P
E a capacidade calorífica a pressão constante para um gás ideal é:
T

Passo 3

Como o processo é isoentálpico (entalpia constante), precisamos relacionar as entalpias inicial e final. A entalpia $ H $ de um gás pode ser expressa como:
H
Então, para a condição inicial e final, temos:
H = CP T
H1 = CP T1 = (a0 + a1 T1) T1
Como a entalpia é constante:
H2 = CP T2 = (a0 + a1 T2) T2
H1 = H2

Passo 4

Agora, precisamos relacionar as condições iniciais e finais usando a equação do virial. Inicialmente, temos pressão $ P_1 $, temperatura $ T_1 $ e volume $ V_1 $:
P1
Após a expansão, a pressão é atmosférica $ P_2 $, e queremos encontrar a temperatura $ T_2 $. O volume final é $ V_2 $:
T1

Passo 5

Assumindo que a quantidade de matéria permanece constante durante a expansão, podemos usar a relação de $ V_2 $ em termos de $ V_1 $, mas como não temos mais informações sobre volumes, vamos focar na relação de entalpia constante. Igualando as duas expressões de entalpia:
V2
Essa equação pode ser reorganizada para resolver $ T_2 $:
V1

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática em $ T_2 $:
T2
Podemos reescrever como:
a1 T2^2 + a0 T2 - a1 T1^2 - a0 T1 = 0
Subtraindo ambos os lados:
a1 T2^2 + a0 T2 = a1 T1^2 + a0 T1

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática $ a_1 T_2^2 + a_0 T_2 - (a_1 T_1^2 + a_0 T_1) = 0 $:
a1 T2^2 + a0 T2 - (a1 T1^2 + a0 T1) = 0
Como a temperatura não pode ser negativa, consideramos apenas a solução positiva:
T2 = -a0 pm raiza0^2 + 4 a1 (a1 T1^2 + a0 T1)2 a1

Resposta

A temperatura de saída do fluido após a expansão isoentálpica é dada por:
T2 = -a0 + raiza0^2 + 4 a1(a1 T1^2 + a0 T1)2 a1

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