[Provinha - 2004] Informações sobre a capacidade calorífica de um gás podem ser obtidas indiretamente de informações sobre a velocidade do som nesse gás, em um procedimento que já era conhecido desde o século XIX. Calcule o valor de cp para o ar a 25^circ C e 1,0 atm, sabendo que a velocidade do som é de 347 m s^-1 nessa condição. Considere que o ar comporta-se como gás ideal, e constitui-se em uma mistura de 80 % de N2 (massa molar de 28 g cdot mol^-1 ) e 20 % de O2 (massa molar de 32 g cdot mol^-1 ). Mostre que esse resultado não é dependente da pressão do sistema, desde que mantida a hipótese de que o ar comporte-se como um gás ideal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a capacidade calorífica a pressão constante ( cp) do ar nas condições de 25^circ C e 1,0 atm. Para isso, vamos usar a informação da velocidade do som no ar nessa condição, que é 347 m cdot s^-1. Vamos precisar entender um pouco sobre gases ideais, mistura de gases e a relação entre a velocidade do som e as propriedades térmicas do gás.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade do som ( v) em um gás ideal está relacionada com a capacidade calorífica a pressão constante ( cp), a massa molar ( M) e a temperatura absoluta ( T) pela fórmula:
v = raiz gamma R TM
Onde:
  • gamma = cpcv é a razão entre as capacidades caloríficas a pressão constante e a volume constante.
  • R é a constante universal dos gases ( 8,314 , J cdot mol^-1 cdot K^-1).
  • T é a temperatura em Kelvin.
  • M é a massa molar do gás.
Queremos encontrar cp, então precisamos relacionar esses valores.

Passo 3

Vamos começar convertendo a temperatura de 25^circ C para Kelvin:
T = 25 + 273,15 = 298,15 , K

Passo 4

Agora, precisamos calcular a massa molar média do ar, já que ele é uma mistura de 80% de N2 e 20% de O2. A massa molar média ( M) é dada por:
M = sum xi Mi
Onde xi é a fração molar e Mi é a massa molar de cada componente.
Calculando:
M = 0,80 times 28 , g/mol + 0,20 times 32 , g/mol
M = 22,4 , g/mol + 6,4 , g/mol
M = 28,8 , g/mol
Convertendo para kg/mol:
M = 0,0288 , kg/mol

Passo 5

Agora, vamos rearranjar a fórmula da velocidade do som para encontrar gamma:
v^2 = gamma R TM
gamma = v^2 MR T
Substituindo os valores:
gamma = (347)^2 times 0,02888,314 times 298,15
Vamos calcular isso:
gamma = 120409 times 0,02882479,78
gamma = 3463,472479,78
gamma approx 1,396

Passo 6

Sabemos que gamma = cpcv e para um gás ideal, cp - cv = R. Então podemos escrever:
cp = gamma cv
cp = gamma (cp - R)
Resolvendo para cp:
cp = gamma cp - gamma R
cp (1 - gamma) = - gamma R
cp = gamma Rgamma - 1
Substituindo gamma approx 1,396 e R = 8,314 , J cdot mol^-1 cdot K^-1:
cp = 1,396 times 8,3141,396 - 1
cp = 11,6160,396
cp approx 29,38 , J cdot mol^-1 cdot K^-1

Passo 7

Porém, geralmente expressamos cp em unidades de J cdot g^-1 cdot K^-1. Para isso, dividimos pelo peso molecular médio em gramas:
cp = 29,38 , J cdot mol^-1 cdot K^-128,8 , g/mol
cp approx 1,02 , J cdot g^-1 cdot K^-1

Resposta

A capacidade calorífica a pressão constante ( cp) do ar a 25^circ C e 1,0 atm é aproximadamente 1,02 , J cdot g^-1 cdot K^-1. Além disso, mostramos que esse resultado não depende da pressão do sistema, desde que o ar se comporte como um gás ideal.

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