[Provinha - 2004] Informações sobre a capacidade calorífica de um gás podem ser obtidas indiretamente de informações sobre a velocidade do som nesse gás, em um procedimento que já era conhecido desde o século XIX. Calcule o valor de
para o ar a
e
, sabendo que a velocidade do som é de
nessa condição. Considere que o ar comporta-se como gás ideal, e constitui-se em uma mistura de
de
(massa molar de
) e
de
(massa molar de
). Mostre que esse resultado não é dependente da pressão do sistema, desde que mantida a hipótese de que o ar comporte-se como um gás ideal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a capacidade calorífica a pressão constante (
) do ar nas condições de
e
. Para isso, vamos usar a informação da velocidade do som no ar nessa condição, que é
. Vamos precisar entender um pouco sobre gases ideais, mistura de gases e a relação entre a velocidade do som e as propriedades térmicas do gás.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade do som (
) em um gás ideal está relacionada com a capacidade calorífica a pressão constante (
), a massa molar (
) e a temperatura absoluta (
) pela fórmula:
Onde:
-
é a razão entre as capacidades caloríficas a pressão constante e a volume constante. -
é a constante universal dos gases ( ). -
é a temperatura em Kelvin. -
é a massa molar do gás.
Queremos encontrar
, então precisamos relacionar esses valores.
Passo 3
Vamos começar convertendo a temperatura de
para Kelvin:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a massa molar média do ar, já que ele é uma mistura de
de
e
de
. A massa molar média (
) é dada por:
Onde
é a fração molar e
é a massa molar de cada componente.
Calculando:
Convertendo para kg/mol:
Passo 5
Agora, vamos rearranjar a fórmula da velocidade do som para encontrar
:
Substituindo os valores:
Vamos calcular isso:
Passo 6
Sabemos que
e para um gás ideal,
. Então podemos escrever:
Resolvendo para
:
Substituindo
e
:
Passo 7
Porém, geralmente expressamos
em unidades de
. Para isso, dividimos pelo peso molecular médio em gramas:
Resposta
A capacidade calorífica a pressão constante (
) do ar a
e
é aproximadamente
. Além disso, mostramos que esse resultado não depende da pressão do sistema, desde que o ar se comporte como um gás ideal.