[Prova - 2006] Um determinado gás segue a equação do virial truncada no segundo termo:
P=R TV+B R TV^2
com B=-2,1 cdot 10^-4 m^3 mol^-1. Um cilindro de 0,1 m^3 desse gás a 25^circ C e 10,0 bar é colocado em uma câmara completamente evacuada de 10,0 m^3. A válvula é aberta e o sistema é deixado até que o equilíbrio seja atingido. Desprezando qualquer troca de calor com o cilindro e com a parede da câmara, qual o estado final do gás (temperatura e pressão)? O valor de CV^G I deste gás é de 28 J mol^-1 K^-1, independente da temperatura, e B pode ser considerado independente da temperatura.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de termodinâmica juntos! Temos um gás que segue a equação do virial truncada no segundo termo:
P = R TV + B R TV^2
Aqui, $ P $ é a pressão, $ T $ é a temperatura, $ V $ é o volume, $ R $ é a constante dos gases ideais, e $ B $ é o coeficiente do segundo termo virial.
O problema nos diz que um cilindro com volume de P contém esse gás a T e 10,0 bar. Esse cilindro é colocado em uma câmara de V inicialmente evacuada. Quando abrimos a válvula, o gás se expande até atingir o equilíbrio. Queremos encontrar o estado final do gás, ou seja, sua temperatura e pressão após a expansão.
Vamos precisar usar a equação do virial, a conservação de energia (já que não há troca de calor), e as relações entre pressão, volume e temperatura para gases.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI). A temperatura inicial está em graus Celsius, então:
Ti = 25^circ C = 25 + 273,15 = 298,15 , K
A pressão inicial está em bar, então convertendo para Pascal (1 bar = 10^5 Pa):
Pi = 10,0 , bar = 10,0 times 10^5 = 10^6 , Pa

Passo 3

Vamos determinar a quantidade de molares ($ n $) do gás no cilindro inicialmente. Usando a equação do virial truncada:
n
Rearranjando para encontrar $ n $:
Pi = R TiVi + B R TiVi^2
Assumindo que $ B $ é muito pequeno, o termo $ \frac{B R T_i}{V_i^{2}} $ pode ser considerado uma correção. No entanto, para maior precisão, vamos calcular os dois termos.

Passo 4

Plugando os valores:
n = 10^6 times 0,18,314 times 298,15 + -2,1 times 10^-4 times 10^60,1
Calculando cada parte:
Primeiro termo:
10^6 times 0,18,314 times 298,15 approx 10^52480 approx 40,3 , mol
Segundo termo:
-2,1 times 10^-4 times 10^60,1 = -2100,1 = -2100 , mol
Somando os dois termos:
n = 40,3 - 2100 approx -2059,7 , mol
Isso não faz sentido físico, indicando que a aproximação inicial pode não ser válida e que precisamos reconsiderar nossa abordagem.

Passo 5

Vamos retornar à equação do virial e ajustá-la corretamente para encontrar $ n $. A equação do virial para pressão é:
n
Rearranjando para nosso caso inicial:
P V = n R T + n^2 B R TV
Simplificando:
10^6 times 0,1 = n times 8,314 times 298,15 + n^2 times (-2,1 times 10^-4) times 8,314 times 298,150,1
Isso resulta em uma equação quadrática:
10^5 = n times 2480 + n^2 times (-0,0521)

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática para $ n $:
n
Usando a fórmula de Bhaskara:
a = -0,0521 b = 2480 c = -10^5
Calculando o discriminante:
n = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Calculando a raiz:
De
Considerando a solução positiva:
n = -2480 pm raiz6,12856 times 10^62 times (-0,0521) approx -2480 pm 2475,6-0,1042

Passo 7

Agora que temos a quantidade de mols ($ n \approx 42,27 , \mathrm{mol} $), vamos determinar o estado final do gás após a expansão para $ V_f = 10,0 , \mathrm{m}^{3} $.
Como não há troca de calor ($ Q = 0 $), o processo é adiabático. A energia interna depende apenas da temperatura, então:
n approx 42,27 , mol
Ou seja, a temperatura final permanece a mesma.

Passo 8

Agora, vamos calcular a pressão final usando a equação do virial:
Pf = n R TfVf + n^2 B R TfVf^2
Substituindo os valores:
Pf = 42,27 times 8,314 times 298,1510,0 + (42,27)^2 times (-2,1 times 10^-4) times 8,314 times 298,1510,0^2
Calculando cada termo:
Primeiro termo:
42,27 times 8,314 times 298,1510 approx 105,5 times 298,1510 approx 3144 , Pa
Segundo termo:
(42,27)^2 times (-2,1 times 10^-4) times 8,314 times 298,15100 approx 1785 times (-2,1 times 10^-4) times 2480100 approx -93,2 , Pa
Somando os dois:
Pf approx 3144 - 93,2 approx 3050,8 , Pa
Convertendo para bar:
Pf approx 0,0305 , bar

Resposta

Após a expansão, o estado final do gás é de temperatura $ T_f = 298,15 , \mathrm{K} $ (25 °C) e pressão $ P_f \approx 0,0305 , \mathrm{bar} $.

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