[Prova - 2006] Um determinado gás segue a equação do virial truncada no segundo termo:
com
. Um cilindro de
desse gás a
e 10,0 bar é colocado em uma câmara completamente evacuada de
. A válvula é aberta e o sistema é deixado até que o equilíbrio seja atingido. Desprezando qualquer troca de calor com o cilindro e com a parede da câmara, qual o estado final do gás (temperatura e pressão)? O valor de
deste gás é de
, independente da temperatura, e
pode ser considerado independente da temperatura.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de termodinâmica juntos! Temos um gás que segue a equação do virial truncada no segundo termo:
Aqui, $ P $ é a pressão, $ T $ é a temperatura, $ V $ é o volume, $ R $ é a constante dos gases ideais, e $ B $ é o coeficiente do segundo termo virial.
O problema nos diz que um cilindro com volume de
contém esse gás a
e 10,0 bar. Esse cilindro é colocado em uma câmara de
inicialmente evacuada. Quando abrimos a válvula, o gás se expande até atingir o equilíbrio. Queremos encontrar o estado final do gás, ou seja, sua temperatura e pressão após a expansão.
Vamos precisar usar a equação do virial, a conservação de energia (já que não há troca de calor), e as relações entre pressão, volume e temperatura para gases.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI). A temperatura inicial está em graus Celsius, então:
A pressão inicial está em bar, então convertendo para Pascal (1 bar =
Pa):
Passo 3
Vamos determinar a quantidade de molares ($ n $) do gás no cilindro inicialmente. Usando a equação do virial truncada:
Rearranjando para encontrar $ n $:
Assumindo que $ B $ é muito pequeno, o termo $ \frac{B R T_i}{V_i^{2}} $ pode ser considerado uma correção. No entanto, para maior precisão, vamos calcular os dois termos.
Passo 4
Plugando os valores:
Calculando cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando os dois termos:
Isso não faz sentido físico, indicando que a aproximação inicial pode não ser válida e que precisamos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 5
Vamos retornar à equação do virial e ajustá-la corretamente para encontrar $ n $. A equação do virial para pressão é:
Rearranjando para nosso caso inicial:
Simplificando:
Isso resulta em uma equação quadrática:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática para $ n $:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Calculando a raiz:
Considerando a solução positiva:
Passo 7
Agora que temos a quantidade de mols ($ n \approx 42,27 , \mathrm{mol} $), vamos determinar o estado final do gás após a expansão para $ V_f = 10,0 , \mathrm{m}^{3} $.
Como não há troca de calor ($ Q = 0 $), o processo é adiabático. A energia interna depende apenas da temperatura, então:
Ou seja, a temperatura final permanece a mesma.
Passo 8
Agora, vamos calcular a pressão final usando a equação do virial:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando os dois:
Convertendo para bar:
Resposta
Após a expansão, o estado final do gás é de temperatura $ T_f = 298,15 , \mathrm{K} $ (25 °C) e pressão $ P_f \approx 0,0305 , \mathrm{bar} $.