[Prova - 2007] No processo de separação do ar em seus componentes O2 e N2, temperaturas muito baixas devem ser atingidas. Para conseguir isso, o ar é inicialmente pressurizado em um compressor, em seguida é resfriado, pois temperaturas altas são atingidas ao final da compressão, e depois passa por uma expansão em uma turbina, em que a pressão e a temperatura são reduzidas.
Na operação de um processo assim, o ar inicialmente está a 300,0 K e 1,0 bar. Passando pelo compressor, sua temperatura eleva-se a 600,0 K e sua pressão atinge 18,3 bar. Sua temperatura é então reduzida a 300,0 K em um trocador de calor, etapa que é conduzida em pressão constante. Finalmente, após a passagem pela turbina, sua pressão
3.16
Propriedades termodinâmicas
cai para 1,0 bar e sua temperatura atinge 149 K .
Em virtude das baixas temperaturas e altas pressões atingidas, o ar nessas condições não pode ser considerado um gás ideal. Seu comportamento é dado pela equação do virial:
P=R TV+B R TV^2
em que o valor de B é igual a -2,76.10^-4 m^3 cdot mol^-1, independente da temperatura. Considerando que o valor de CP no estado de gás ideal seja igual a 35 J mol^-1 cdot K^-1, independente da temperatura, pede-se:
supondo que as etapas de compressão e expansão sejam adiabáticas, qual o trabalho realizado pelo compressor e qual o trabalho obtido na turbina, por mol de ar?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um processo de separação do ar em oxigênio ( O2) e nitrogênio ( N2). Para isso, o ar passa por várias etapas: compressão, resfriamento e expansão. O problema nos dá temperaturas e pressões em cada etapa e nos pede para calcular o trabalho realizado pelo compressor e o trabalho obtido na turbina por mol de ar, assumindo que as etapas de compressão e expansão são adiabáticas (ou seja, sem troca de calor).
Vamos precisar usar a equação do virial para gases não ideais, que é:
P = RTV + BRTV^2
Onde:
  • $ P $ é a pressão,
  • $ R $ é a constante dos gases,
  • $ T $ é a temperatura,
  • $ V $ é o volume,
  • $ B $ é o coeficiente de virial.
Além disso, vamos usar a relação para processos adiabáticos e a capacidade calorífica a pressão constante $ C_P $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o trabalho realizado pelo compressor. Para processos adiabáticos, usamos a equação:
W = integralV1^V2 P , dV
Mas como estamos lidando com um gás não ideal, usaremos a equação do virial para expressar $ P $ em função de $ V $.
Substituindo a equação do virial na integral:
P

Passo 3

Vamos resolver a integral termo a termo.
Primeiro, para $ \frac{RT}{V} $:
RTV
Segundo, para $ \frac{BRT}{V^{2}} $:
integral RTV dV = RT ln(V2V1)
Então, o trabalho total é:
BRTV^2

Passo 4

Agora, precisamos relacionar os volumes $ V_1 $ e $ V_2 $ com as pressões e temperaturas dadas. Usando a equação do virial:
Para o estado 1 (antes da compressão):
V1
Para o estado 2 (após a compressão):
V2
Nós conhecemos $ P_1 = 1,0 $ bar, $ T_1 = 300,0 $ K, $ P_2 = 18,3 $ bar, e $ T_2 = 600,0 $ K. Vamos resolver essas equações para encontrar $ V_1 $ e $ V_2 $.

Passo 5

Vamos assumir que $ B $ é pequeno, então $ \frac{BRT}{V^{2}} $ é muito menor que $ \frac{RT}{V} $. Portanto, podemos aproximar:
B
Calculando $ V_1 $ e $ V_2 $:
BRTV^2
RTV

Passo 6

Substituindo os valores:
V1 approx 8,314 times 30010^5 = 2494,210^5 = 0,02494 , m^3/mol
V2 approx 8,314 times 6001,83 times 10^6 = 4988,41,83 times 10^6 approx 0,002727 , m^3/mol

Passo 7

Agora, vamos calcular o trabalho $ W $ usando os volumes aproximados:
W
Substituindo $ T = 600 $ K (temperatura após compressão):
W = RT ln(V2V1) - BRT ( 1V2 - 1V1 )

Passo 8

Calculando cada parte:
Primeiro termo:
8,314 times 600 times ln(0,0027270,02494) = 4988,4 times ln(0,1093) approx 4988,4 times (-2,214) approx -11047,7 , J/mol
Segundo termo:
-2,76 times 10^-4 times 8,314 times 600 times ( 366,3 - 40,16 ) approx -0,000276 times 8,314 times 600 times 326,14 approx -0,000276 times 8,314 times 600 times 326,14 approx -44,6 , J/mol
Então:
W approx -11047,7 - 44,6 approx -11092,3 , J/mol

Passo 9

O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o sistema (compressor). Então, o trabalho realizado pelo compressor é de aproximadamente $ 11092 , J/mol $.

Passo 10

Agora, vamos calcular o trabalho obtido na turbina, que também é um processo adiabático, mas de expansão. Usamos o mesmo procedimento:
W = RT ln(V2V1) - BRT ( 1V2 - 1V1 )
Dessa vez, $ T = 149 $ K, $ P_1 = 18,3 $ bar (antes da expansão), e $ P_2 = 1,0 $ bar (após a expansão).

Passo 11

Calculamos os volumes para a turbina:
V1 approx R T1P1 = 8,314 times 1491,83 times 10^5 approx 0,00678 , m^3/mol
V2 approx R T2P2 = 8,314 times 30010^5 = 0,02494 , m^3/mol

Passo 12

Substituindo na equação do trabalho:
W = 8,314 times 149 times ln(0,024940,00678) - (-2,76 times 10^-4) times 8,314 times 149 ( 10,02494 - 10,00678 )

Passo 13

Calculando cada parte:
Primeiro termo:
8,314 times 149 times ln(3,677) approx 1239,686 times 1,303 approx 1612,4 , J/mol
Segundo termo:
-2,76 times 10^-4 times 8,314 times 149 times ( 40,16 - 147,4 ) approx -0,000276 times 8,314 times 149 times (-107,24) approx 3,03 , J/mol
Então:
W approx 1612,4 + 3,03 approx 1615,4 , J/mol

Resposta

O trabalho realizado pelo compressor é de aproximadamente $ 11.092 , J/mol $ e o trabalho obtido na turbina é de aproximadamente $ 1.615 , J/mol $.

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