[Prova - 2007] No processo de separação do ar em seus componentes
e
, temperaturas muito baixas devem ser atingidas. Para conseguir isso, o ar é inicialmente pressurizado em um compressor, em seguida é resfriado, pois temperaturas altas são atingidas ao final da compressão, e depois passa por uma expansão em uma turbina, em que a pressão e a temperatura são reduzidas.
Na operação de um processo assim, o ar inicialmente está a
e 1,0 bar. Passando pelo compressor, sua temperatura eleva-se a
e sua pressão atinge 18,3 bar. Sua temperatura é então reduzida a
em um trocador de calor, etapa que é conduzida em pressão constante. Finalmente, após a passagem pela turbina, sua pressão
3.16
Propriedades termodinâmicas
cai para 1,0 bar e sua temperatura atinge 149 K .
Em virtude das baixas temperaturas e altas pressões atingidas, o ar nessas condições não pode ser considerado um gás ideal. Seu comportamento é dado pela equação do virial:
em que o valor de
é igual a
, independente da temperatura. Considerando que o valor de
no estado de gás ideal seja igual a
, independente da temperatura, pede-se:
supondo que as etapas de compressão e expansão sejam adiabáticas, qual o trabalho realizado pelo compressor e qual o trabalho obtido na turbina, por mol de ar?
Na operação de um processo assim, o ar inicialmente está a
3.16
Propriedades termodinâmicas
cai para 1,0 bar e sua temperatura atinge 149 K .
Em virtude das baixas temperaturas e altas pressões atingidas, o ar nessas condições não pode ser considerado um gás ideal. Seu comportamento é dado pela equação do virial:
supondo que as etapas de compressão e expansão sejam adiabáticas, qual o trabalho realizado pelo compressor e qual o trabalho obtido na turbina, por mol de ar?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um processo de separação do ar em oxigênio (
) e nitrogênio (
). Para isso, o ar passa por várias etapas: compressão, resfriamento e expansão. O problema nos dá temperaturas e pressões em cada etapa e nos pede para calcular o trabalho realizado pelo compressor e o trabalho obtido na turbina por mol de ar, assumindo que as etapas de compressão e expansão são adiabáticas (ou seja, sem troca de calor).
Vamos precisar usar a equação do virial para gases não ideais, que é:
Onde:
- $ P $ é a pressão,
- $ R $ é a constante dos gases,
- $ T $ é a temperatura,
- $ V $ é o volume,
- $ B $ é o coeficiente de virial.
Além disso, vamos usar a relação para processos adiabáticos e a capacidade calorífica a pressão constante $ C_P $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o trabalho realizado pelo compressor. Para processos adiabáticos, usamos a equação:
Mas como estamos lidando com um gás não ideal, usaremos a equação do virial para expressar $ P $ em função de $ V $.
Substituindo a equação do virial na integral:
Passo 3
Vamos resolver a integral termo a termo.
Primeiro, para $ \frac{RT}{V} $:
Segundo, para $ \frac{BRT}{V^{2}} $:
Então, o trabalho total é:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar os volumes $ V_1 $ e $ V_2 $ com as pressões e temperaturas dadas. Usando a equação do virial:
Para o estado 1 (antes da compressão):
Para o estado 2 (após a compressão):
Nós conhecemos $ P_1 = 1,0 $ bar, $ T_1 = 300,0 $ K, $ P_2 = 18,3 $ bar, e $ T_2 = 600,0 $ K. Vamos resolver essas equações para encontrar $ V_1 $ e $ V_2 $.
Passo 5
Vamos assumir que $ B $ é pequeno, então $ \frac{BRT}{V^{2}} $ é muito menor que $ \frac{RT}{V} $. Portanto, podemos aproximar:
Calculando $ V_1 $ e $ V_2 $:
Passo 6
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, vamos calcular o trabalho $ W $ usando os volumes aproximados:
Substituindo $ T = 600 $ K (temperatura após compressão):
Passo 8
Calculando cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Então:
Passo 9
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o sistema (compressor). Então, o trabalho realizado pelo compressor é de aproximadamente $ 11092 , J/mol $.
Passo 10
Agora, vamos calcular o trabalho obtido na turbina, que também é um processo adiabático, mas de expansão. Usamos o mesmo procedimento:
Dessa vez, $ T = 149 $ K, $ P_1 = 18,3 $ bar (antes da expansão), e $ P_2 = 1,0 $ bar (após a expansão).
Passo 11
Calculamos os volumes para a turbina:
Passo 12
Substituindo na equação do trabalho:
Passo 13
Calculando cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Então:
Resposta
O trabalho realizado pelo compressor é de aproximadamente $ 11.092 , J/mol $ e o trabalho obtido na turbina é de aproximadamente $ 1.615 , J/mol $.