Provar que:
se
e
, então
.
se
Passo 1
Beleza, vamos provar que se
e
, então
. A matéria que vamos usar aqui é sobre vetores no plano, especificamente magnitude de vetores e produto escalar. Precisamos saber como calcular a magnitude de um vetor e o produto escalar entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a magnitude de um vetor
é dada por
. Então, ao quadrado, temos
. O mesmo vale para o vetor
:
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a soma dos vetores
. Se
e
, então
. A magnitude desse vetor é , e ao quadrado fica
.
Passo 4
Vamos expandir
:
Organizando os termos:
Perceba que
e
. Além disso,
é o produto escalar
.
Passo 5
Substituindo de volta, temos:
E assim, provamos a igualdade!