Provar que:
se u=(x1, y1) e v=(x2, y2), então (|u+v|)^2=(|u|)^2+(|v|)^2+2(u cdot v).

Passo 1

Beleza, vamos provar que se u = (x1, y1) e v = (x2, y2), então (|u+v|)^2 = (|u|)^2 + (|v|)^2 + 2(u cdot v). A matéria que vamos usar aqui é sobre vetores no plano, especificamente magnitude de vetores e produto escalar. Precisamos saber como calcular a magnitude de um vetor e o produto escalar entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a magnitude de um vetor u = (x1, y1) é dada por |u| = raizx1^2 + y1^2. Então, ao quadrado, temos (|u|)^2 = x1^2 + y1^2. O mesmo vale para o vetor v: (|v|)^2 = x2^2 + y2^2.

Passo 3

Agora, vamos calcular a soma dos vetores u + v. Se u = (x1, y1) e v = (x2, y2), então u + v = (x1 + x2, y1 + y2). A magnitude desse vetor é , e ao quadrado fica |u + v| = raiz(x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2.

Passo 4

Vamos expandir (|u + v|)^2:
(x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2 = x1^2 + 2x1x2 + x2^2 + y1^2 + 2y1y2 + y2^2
Organizando os termos:
x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2 + 2(x1x2 + y1y2)
Perceba que x1^2 + y1^2 = (|u|)^2 e x2^2 + y2^2 = (|v|)^2. Além disso, x1x2 + y1y2 é o produto escalar u cdot v.

Passo 5

Substituindo de volta, temos:
(|u + v|)^2 = (|u|)^2 + (|v|)^2 + 2(u cdot v)
E assim, provamos a igualdade!

Resposta

(|u + v|)^2 = (|u|)^2 + (|v|)^2 + 2(u cdot v)

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