Prove que T é uma transformação linear: T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z)=(3 x,-2 y, x-y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a transformação definida por é linear. Isso faz parte do conteúdo de transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar verificar duas propriedades básicas das transformações lineares: adição de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T(u + v) = T(u) + T(v) é linear se, para quaisquer vetores T(cu) = cT(u) e no espaço e para qualquer escalar , valem as seguintes propriedades:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação que temos.

Passo 3

Verificando a adição de vetores:
Sejam u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (3(x1 + x2), -2(y1 + y2), (x1 + x2) - (y1 + y2)) . Vamos calcular = (3x1 + 3x2, -2y1 - 2y2, x1 + x2 - y1 - y2) e T(u) = (3x1, -2y1, x1 - y1) .
Primeiro, a soma dos vetores:
T(v) = (3x2, -2y2, x2 - y2)
Agora, aplicando T(u) + T(v) = (3x1 + 3x2, -2y1 - 2y2, (x1 - y1) + (x2 - y2)) nessa soma:
= (3x1 + 3x2, -2y1 - 2y2, x1 + x2 - y1 - y2)
Agora, vamos calcular :
Como , a propriedade da adição está satisfeita.

Passo 4

Verificando a multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor cu = (cx, cy, cz) e um escalar T(cu) = T(cx, cy, cz) = (3(cx), -2(cy), cx - cy) . Precisamos mostrar que = (c cdot 3x, c cdot (-2y), c(x - y)) .
Primeiro, multiplicando o vetor por T(u) = (3x, -2y, x - y) :
cT(u) = c(3x, -2y, x - y) = (c cdot 3x, c cdot (-2y), c(x - y))
Agora, aplicando nesse vetor:
Por outro lado, calculando :
Vendo bem, temos que , então a propriedade da multiplicação por escalar também está satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar foram verificadas e satisfeitas, podemos concluir que é uma transformação linear.

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Verificar se os pontos A, B e C são colineares nos seguintes casos:
b) A=(1,1,-2), B=(-1,0,-4) e C=(5,3,2)
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D C
Dados os pontos P=(3,5,2), Q=(1,2,-1) e R=(-1,3,-2) calcular as coordenadas dos vetores P Q, Q R e R P
R: P Q=(-2,-3,-3), Q R=(-2,1,-1) e R P=(4,2,4)