Prove que é uma transformação linear: definida por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a transformação definida por é linear. Isso faz parte do conteúdo de transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar verificar duas propriedades básicas das transformações lineares: adição de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e no espaço e para qualquer escalar , valem as seguintes propriedades:
Adição de vetores:
Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação que temos.
Passo 3
Verificando a adição de vetores:
Sejam e . Vamos calcular e .
Primeiro, a soma dos vetores:
Agora, aplicando nessa soma:
Agora, vamos calcular :
Como , a propriedade da adição está satisfeita.
Passo 4
Verificando a multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor e um escalar . Precisamos mostrar que .
Primeiro, multiplicando o vetor por :
Agora, aplicando nesse vetor:
Por outro lado, calculando :
Vendo bem, temos que , então a propriedade da multiplicação por escalar também está satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar foram verificadas e satisfeitas, podemos concluir que é uma transformação linear.