Prove que
é uma transformação linear:
definida por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a transformação
definida por
é linear. Isso faz parte do conteúdo de transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar verificar duas propriedades básicas das transformações lineares: adição de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
no espaço e para qualquer escalar
, valem as seguintes propriedades:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação
que temos.
Passo 3
Verificando a adição de vetores:
Sejam
e
. Vamos calcular
e
.
Primeiro, a soma dos vetores:
Agora, aplicando
nessa soma:
Agora, vamos calcular
:
Como
, a propriedade da adição está satisfeita.
Passo 4
Verificando a multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor
e um escalar
. Precisamos mostrar que
.
Primeiro, multiplicando o vetor por
:
Agora, aplicando
nesse vetor:
Por outro lado, calculando
:
Vendo bem, temos que
, então a propriedade da multiplicação por escalar também está satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar foram verificadas e satisfeitas, podemos concluir que
é uma transformação linear.