Verificar se os pontos A, B e C são colineares nos seguintes casos:
b) A=(1,1,-2), B=(-1,0,-4) e C=(5,3,2)
R: Sim!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os pontos A, B e C são colineares. Isso significa que eles estão todos na mesma reta. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores e como eles se relacionam no espaço tridimensional. Vamos precisar calcular os vetores que ligam esses pontos e verificar se eles são proporcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos:
  • A = (1, 1, -2)
  • B = (-1, 0, -4)
  • C = (5, 3, 2)
Vamos calcular o vetor AB que vai de A para B. Para encontrar esse vetor, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:
AB = B - A = (-1 - 1, 0 - 1, -4 - (-2)) = (-2, -1, -2)

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor AC que vai de A para C da mesma forma:
AC = C - A = (5 - 1, 3 - 1, 2 - (-2)) = (4, 2, 4)

Passo 4

Para os pontos serem colineares, os vetores AB e AC precisam ser proporcionais, ou seja, deve existir um número real AC = k cdot AB tal que:
4-2 = -2, 2-1 = -2, 4-2 = -2
Vamos verificar se existe esse AC = -2 cdot AB . Vamos comparar as componentes correspondentes dos vetores:
Percebemos que todas as componentes satisfazem . Isso quer dizer que:

Passo 5

Como encontramos um valor de que faz com que seja igual a , concluímos que os vetores são proporcionais.

Resposta

Sim, os pontos A, B e C são colineares.

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Provar que:
se u=(x1, y1) e v=(x2, y2), então (|u+v|)^2=(|u|)^2+(|v|)^2+2(u cdot v).
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B C
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D C