Provar que a equação
possui três raízes reais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a equação
tem três raízes reais. Isso está relacionado ao estudo de funções polinomiais, mais especificamente dos polinômios de terceiro grau (cubos). Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como raízes de funções, derivadas e o discriminante de uma equação cúbica.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que
é um polinômio de terceiro grau, ou seja:
onde
,
,
e
são números reais e
.
Passo 3
Para que a equação
tenha três raízes reais, precisamos verificar as condições do discriminante de uma equação cúbica. O discriminante (
) nos ajuda a determinar o número de raízes reais de um polinômio.
Passo 4
O discriminante de um polinômio cúbico é dado por:
Se
, a equação cúbica tem três raízes reais distintas.
Passo 5
Além do discriminante, podemos usar a derivada para analisar o comportamento da função
. Calculando a primeira derivada:
Encontrar as raízes de
nos dá os pontos críticos da função, que ajudam a determinar se a função cruza o eixo x três vezes.
Passo 6
Resolvendo
:
Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Para que haja dois pontos críticos reais, o discriminante dessa equação quadrática deve ser positivo:
Passo 7
Com dois pontos críticos reais, a função
terá um máximo e um mínimo. Se os valores de
nesses pontos tiverem sinais opostos, isso indica que a função cruza o eixo x três vezes, ou seja, possui três raízes reais.
Passo 8
Então, resumindo:
- Calculamos o discriminante do polinômio cúbico.
- Verificamos se
para garantir três raízes reais distintas. - Analisamos a derivada para confirmar a existência de dois pontos críticos reais.
- Confirmamos que os pontos críticos levam a mudanças de sinal na função, assegurando três interseções com o eixo x.
Resposta
Portanto, se o discriminante
e a derivada
possui duas raízes reais, a equação
possui três raízes reais.
Exercícios relacionados
Calcule, pela regra dos Trapézios e de Simpson, cada uma das integrais abaixo, com erro menor do que
dado:
a) .
a)
Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Provar que a equação
possui duas raízes reais.
Utilizando-se um fio de comprimento L é possível construir uma sequência de 16 quadrados em que o lado de cada quadrado, a partir do segundo, é 2 cm maior que o lado do quadrado anterior. Sabendo que para a construção do sétimo quadrado são necessários 68 cm , determine o valor de L.
a. 76
b. 140
c. 320
d. 960
e. 1280
a. 76
b. 140
c. 320
d. 960
e. 1280