Seja C o espaço vetorial dos números complexos sobre R. Consideremos F, G in L(C) assim definidas:
F(z)=(raiz22+i raiz22) z e G(z)=iz, z in C Calcular:
e) (F circ G) circ(F circ G).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre espaços vetoriais de números complexos e funções lineares nesse espaço. A gente tem duas funções, e , definidas sobre os números complexos . O que a gente precisa calcular é a composição dessas funções, ou seja, aplicar uma depois da outra várias vezes. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e trabalhar com números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as funções e :
Aqui, é um número complexo e é a unidade imaginária, onde .

Passo 3

Vamos lembrar que a composição de funções, (F circ G)(z) = F(G(z)) = F(i z) , significa que a gente aplica primeiro F(i z) = (raiz22 + i raiz22) (i z) e depois . Então,
Vamos calcular isso substituindo na função :

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão:
(raiz22 + i raiz22) (i z) = raiz22 cdot i z + i raiz22 cdot i z
Lembrando que = i raiz22 z + (-1) raiz22 z = (i raiz22 - raiz22) z , fica:
(F circ G)(z) = raiz22 (i - 1) z
Podemos fatorar :

Passo 5

Agora, precisamos calcular a composição H(z) = raiz22 (i - 1) z . Vamos chamar (H circ H)(z) = H(H(z)) = H(raiz22 (i - 1) z) , então:
Então,

Passo 6

Substituindo na função H(raiz22 (i - 1) z) = raiz22 (i - 1) cdot raiz22 (i - 1) z :
= (raiz22)^2 (i - 1)^2 z = 24 (i - 1)^2 z = 12 (i - 1)^2 z
Multiplicando os coeficientes:

Passo 7

Vamos calcular (i - 1)^2 = i^2 - 2i + 1 = (-1) - 2i + 1 = -2i :
(H circ H)(z) = 12 (-2i) z = -i z
Então,

Resposta

A composição (F circ G) circ (F circ G)(z) = -i z é igual a . Ou seja,

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