Seja
o espaço vetorial dos números complexos sobre
. Consideremos
assim definidas:
e)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre espaços vetoriais de números complexos e funções lineares nesse espaço. A gente tem duas funções,
e
, definidas sobre os números complexos
. O que a gente precisa calcular é a composição dessas funções, ou seja, aplicar uma depois da outra várias vezes. Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e trabalhar com números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as funções
e
:
Aqui,
é um número complexo e
é a unidade imaginária, onde
.
Passo 3
Vamos lembrar que a composição de funções,
, significa que a gente aplica primeiro
e depois
. Então,
Vamos calcular isso substituindo
na função
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão:
Lembrando que
, fica:
Podemos fatorar
:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a composição
. Vamos chamar
, então:
Então,
Passo 6
Substituindo na função
:
Multiplicando os coeficientes:
Passo 7
Vamos calcular
:
Então,
Resposta
A composição
é igual a
. Ou seja,