(Valor 1,0). Aplique a Regra do Fator Linear para a função racional da integral abaixo e ache as frações parciais. Não Precisa calcular.
integral 2 x-3(x-1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que envolve uma função racional usando a Regra do Fator Linear. O problema pede para a gente decompor a fração em frações parciais. Isso ajuda a simplificar a integral. Então, o que vamos precisar é entender como quebrar a fração dada em partes menores que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a estrutura da nossa função racional: temos . O denominador é um fator linear elevado à terceira potência. Quando o denominador tem um fator linear repetido, a gente decompõe a fração em várias partes, cada uma com potências decrescentes desse fator.

Passo 3

A seguir, aplicamos a Regra do Fator Linear. Para um denominador de A(x - a) + B(x - a)^2 + cdots + N(x - a)^n , a decomposição em frações parciais fica assim:
A(x - 1) + B(x - 1)^2 + C(x - 1)^3
No nosso caso, e . Então, a decomposição será:

Passo 4

Agora, igualamos essa expressão à fração original para encontrar os coeficientes 2x - 3(x - 1)^3 = A(x - 1) + B(x - 1)^2 + C(x - 1)^3 , 2x - 3 = A(x - 1)^2 + B(x - 1) + C e . Ou seja:
Ao multiplicar ambos os lados por para eliminar os denominadores, teremos:

Passo 5

A partir daqui, a gente resolveria para encontrar os valores de , e . Porém, como o exercício não pede para calcular, podemos parar por aqui sabendo que a fração foi decomposta nas suas frações parciais.

Resposta

A decomposição em frações parciais da função 2x - 3(x - 1)^3 = A(x - 1) + B(x - 1)^2 + C(x - 1)^3 é:

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