(Valor 0,5 ). A substituição u=12 x^2 transforma a integral integral x e^12 x^2 d x em qual das seguintes alternativas?
a) integral e^u^2 d u
b) integral e^u d u
c) integral 12 u^2 e^u d u
d) integral u e^u d u
e) integral e^raizu d u

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integração usando substituição. O enunciado pede para transformar a integral usando a substituição . Vamos precisar entender como fazer essa troca de variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, definimos a substituição du = ddx(12 x^2) dx = x , dx . Para mudar a variável da integral, precisamos encontrar em termos de . Derivando em relação a , temos:
Isso significa que .

Passo 3

Agora, substituímos integral e^u du e na integral original. A integral fica:
Isso porque e .

Passo 4

Vamos comparar a integral transformada com as alternativas apresentadas:
a)
b)
c)
d)
e)
A integral obtida foi , que corresponde à alternativa b).

Passo 5

Confirmando, ao fazer a substituição correta, a integral se transforma exatamente na alternativa b). Portanto, a resposta está correta.

Resposta

b)

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