Prove que (1+cotg^2 x)(1-cos ^2 x)=1, forall x in R, x neq k pi, k in Z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que para todo real, exceto onde é múltiplo de . Vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o mesmo que . Além disso, temos uma identidade importante: , onde é o cosecante de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa identidade na primeira parte da expressão:
1 + cotg^2 x = csc^2 x
Então, nossa expressão fica:
csc^2 x cdot (1 - cos^2 x)

Passo 4

Sabemos que csc^2 x cdot sin^2 x pela identidade pitagórica básica. Substituindo isso, temos:

Passo 5

Agora, 1sin^2 x cdot sin^2 x é igual a , então . Substituindo novamente:

Passo 6

Simplificando a expressão, , já que cancela com .

Resposta

Portanto, provamos que para todo , onde com .

Exercícios relacionados