Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que
para todo
real, exceto onde
é múltiplo de
. Vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o mesmo que
. Além disso, temos uma identidade importante:
, onde
é o cosecante de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa identidade na primeira parte da expressão:
Então, nossa expressão fica:
Passo 4
Sabemos que
pela identidade pitagórica básica. Substituindo isso, temos:
Passo 5
Agora,
é igual a
, então
. Substituindo novamente:
Passo 6
Simplificando a expressão,
, já que
cancela com
.
Resposta
Portanto, provamos que
para todo
, onde
com
.