Prove que x^2+y^2 >= 2 x y, forall x, y in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que para quaisquer números reais x^2 + y^2 >= 2xy e , a seguinte desigualdade é verdadeira:
Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente sobre desigualdades e propriedades dos números reais. Para resolver, vamos usar algumas técnicas básicas de algebra e propriedades das inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a desigualdade para facilitar a análise. Subtraia x^2 + y^2 - 2xy >= 0 de ambos os lados:
Agora, observamos que o lado esquerdo da desigualdade se parece com uma expressão que conhecemos da álgebra: o quadrado da diferença de dois termos.

Passo 3

Vamos lembrar que:
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Comparando com a nossa expressão (x - y)^2 >= 0 , vemos que ela é igual a . Então podemos reescrever:
Isso significa que o quadrado de qualquer número real é sempre maior ou igual a zero, porque não pode ser negativo.

Passo 4

Como x^2 + y^2 >= 2xy é sempre verdadeiro para quaisquer e reais, isso confirma que nossa desigualdade original também é sempre verdadeira:

Resposta

Portanto, provamos que para todos os números reais e , é sempre válido.

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