Prove que
e coloque na forma algébrica
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que
e depois escrever na forma algébrica a expressão
. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com números complexos, elevar números complexos a potências e simplificar expressões envolvendo a unidade imaginária
.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que
. Vamos fazer isso expandindo a expressão:
Calculando cada parte:
-
-
-
(porque é a unidade imaginária e )
Agora, somando tudo:
Então, de fato,
está provado!
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão
. Primeiro, observamos que
e
são potências de
, que já sabemos que é
. Vamos reescrever essas potências usando
.
Primeiro, note que:
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
. Lembrando que
:
Sabemos que
, então
e
.
Portanto:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão de
:
Vamos fatorar
no numerador:
Agora, simplificamos
. Como
, temos:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, expandindo a expressão:
Isso já está na forma algébrica
, onde
e
.
Resposta
A forma algébrica de
é
.
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Dados
e
, calcule:
Efetue as operações indicadas:
Calcule as seguintes potências de
:
Coloque na forma a + bi os seguintes números complexos: