Prove que (1+i)^2 = 2i e coloque na forma algébrica Z = ((1+i)^80 - (1+i)^82) / (i^96)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que e depois escrever na forma algébrica a expressão Z = ((1+i)^80 - (1+i)^82) / (i^96). Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com números complexos, elevar números complexos a potências e simplificar expressões envolvendo a unidade imaginária i.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que . Vamos fazer isso expandindo a expressão:
Calculando cada parte:
  • (porque i é a unidade imaginária e )
Agora, somando tudo:
Então, de fato, está provado!

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão Z = ((1+i)^80 - (1+i)^82) / (i^96). Primeiro, observamos que e são potências de , que já sabemos que é . Vamos reescrever essas potências usando .
Primeiro, note que:

Passo 4

Agora, vamos calcular e . Lembrando que :
Sabemos que , então e .
Portanto:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de Z:
Vamos fatorar no numerador:
Agora, simplificamos . Como , temos:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, expandindo a expressão:
Isso já está na forma algébrica , onde e .

Resposta

A forma algébrica de Z é .

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