Prove que e coloque na forma algébrica

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente provar que e depois escrever na forma algébrica a expressão . Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com números complexos, elevar números complexos a potências e simplificar expressões envolvendo a unidade imaginária .

Passo 2

Primeiro, vamos provar que . Vamos fazer isso expandindo a expressão:
Calculando cada parte:
  • (porque é a unidade imaginária e )
Agora, somando tudo:
Então, de fato, está provado!

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão . Primeiro, observamos que e são potências de , que já sabemos que é . Vamos reescrever essas potências usando .
Primeiro, note que:

Passo 4

Agora, vamos calcular e . Lembrando que :
Sabemos que , então e .
Portanto:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de :
Vamos fatorar no numerador:
Agora, simplificamos . Como , temos:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, expandindo a expressão:
Isso já está na forma algébrica , onde e .

Resposta

A forma algébrica de é .

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Dados e , calcule:
Efetue as operações indicadas:
Calcule as seguintes potências de :
Coloque na forma a + bi os seguintes números complexos: