Prove que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para provar que a soma dos quadrados dos primeiros números ímpares, ou seja,
, é igual a
. Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica comum para provar afirmações válidas para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é indução matemática. Ela funciona em dois passos:
- Base da indução: Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro caso, geralmente
. - Passo indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum
e então mostramos que ela também é verdadeira para .
Passo 3
Vamos começar com a base da indução, ou seja, verificar se a fórmula funciona para
.
Para
, a soma dos quadrados dos primeiros ímpares é apenas
.
Agora, vamos calcular a expressão do lado direito da igualdade para
:
Os dois lados são iguais, então a base da indução está confirmada.
Passo 4
Agora, vamos para o passo indutivo. Suponha que a afirmação seja verdadeira para algum número
, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 5
Precisamos mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para
, então ela também é verdadeira para
. Ou seja, precisamos provar que:
Passo 6
Vamos começar adicionando o próximo termo na soma:
Simplificando o último termo:
Então, a soma fica:
Passo 7
Usando a hipótese de indução, sabemos que:
Portanto, a soma para
é:
Passo 8
Vamos calcular
:
Então, a soma fica:
Passo 9
Para somar as frações, precisamos de um denominador comum. Vamos escrever os termos sem fração com denominador 3:
Passo 10
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 11
Agora, vamos expandir a expressão que queremos provar para
:
Primeiro, calculamos
:
Então:
Portanto:
Passo 12
Observamos que a soma que calculamos usando a hipótese de indução é exatamente igual à expressão que queremos provar para
:
Isso significa que se a afirmação é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
.
Resposta
Por indução matemática, concluímos que
para todo
.
Exercícios relacionados
Prove que
para todo
.
Sejam os números
definidos do seguinte modo:
e
para todo
. Use o Princípio da Indução Forte para mostrar que
para todo
.
Prove que
para todo
.