Prove que para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para provar que a soma dos quadrados dos primeiros números ímpares, ou seja, , é igual a . Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica comum para provar afirmações válidas para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é indução matemática. Ela funciona em dois passos:
  1. Base da indução: Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro caso, geralmente .
  2. Passo indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum e então mostramos que ela também é verdadeira para .

Passo 3

Vamos começar com a base da indução, ou seja, verificar se a fórmula funciona para .
Para , a soma dos quadrados dos primeiros ímpares é apenas .
Agora, vamos calcular a expressão do lado direito da igualdade para :
Os dois lados são iguais, então a base da indução está confirmada.

Passo 4

Agora, vamos para o passo indutivo. Suponha que a afirmação seja verdadeira para algum número , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 5

Precisamos mostrar que, se a hipótese de indução é verdadeira para , então ela também é verdadeira para . Ou seja, precisamos provar que:

Passo 6

Vamos começar adicionando o próximo termo na soma:
Simplificando o último termo:
Então, a soma fica:

Passo 7

Usando a hipótese de indução, sabemos que:
Portanto, a soma para é:

Passo 8

Vamos calcular :
Então, a soma fica:

Passo 9

Para somar as frações, precisamos de um denominador comum. Vamos escrever os termos sem fração com denominador 3:

Passo 10

Vamos simplificar o numerador:
Então:

Passo 11

Agora, vamos expandir a expressão que queremos provar para :
Primeiro, calculamos :
Então:
Portanto:

Passo 12

Observamos que a soma que calculamos usando a hipótese de indução é exatamente igual à expressão que queremos provar para :
Isso significa que se a afirmação é verdadeira para , ela também é verdadeira para .

Resposta

Por indução matemática, concluímos que para todo .

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Sejam os números definidos do seguinte modo: e para todo . Use o Princípio da Indução Forte para mostrar que para todo .
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