Prove que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que
para todo número natural
maior ou igual a 5. Isso envolve conceitos de desigualdades e exponenciais. Para resolver isso, vamos usar um método chamado indução matemática, que é como escalar uma escada: a gente mostra que está no primeiro degrau e que, se estiver em um degrau, consegue subir para o próximo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a desigualdade vale para
. Substituindo na expressão:
E:
Então,
está certo! Isso é o nosso caso base.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a desigualdade vale para algum número
, ou seja:
Esse é o nosso passo da indução. A ideia é usar essa suposição para provar que a desigualdade também vale para
.
Passo 4
Vamos verificar para
:
Precisamos mostrar que:
Sabemos pela nossa suposição de indução que
. Vamos manipular essa desigualdade para chegar na que precisamos.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados da suposição por 2:
Agora, vamos ver como isso se relaciona com
:
Como
, e sabemos que
, então:
Isso prova que a desigualdade vale para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a desigualdade
é verdadeira para todo
, onde
é um número natural.
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Prove que
para todo
.
Prove que
para todo
.
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
quando