Prove que para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que para todo número natural maior ou igual a 5. Isso envolve conceitos de desigualdades e exponenciais. Para resolver isso, vamos usar um método chamado indução matemática, que é como escalar uma escada: a gente mostra que está no primeiro degrau e que, se estiver em um degrau, consegue subir para o próximo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a desigualdade vale para . Substituindo na expressão:
E:
Então, está certo! Isso é o nosso caso base.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a desigualdade vale para algum número , ou seja:
Esse é o nosso passo da indução. A ideia é usar essa suposição para provar que a desigualdade também vale para .

Passo 4

Vamos verificar para :
Precisamos mostrar que:
Sabemos pela nossa suposição de indução que . Vamos manipular essa desigualdade para chegar na que precisamos.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados da suposição por 2:
Agora, vamos ver como isso se relaciona com :
Como , e sabemos que , então:
Isso prova que a desigualdade vale para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a desigualdade é verdadeira para todo , onde é um número natural.

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Prove que para todo .
Prove que para todo .
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. ; quando