Prove que para todo .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que a soma dos cubos dos primeiros números naturais é igual a . Esse problema está relacionado com a álgebra, especificamente com a progressão de somas. Para resolver, vamos usar o princípio da indução matemática.

Passo 2

Base da indução: Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para . Isso é importante para iniciar o processo de indução.
Calculando o lado esquerdo da equação:
Calculando o lado direito da equação:
Como ambos os lados são iguais, a base da indução é válida para .

Passo 3

Hipótese de indução: Vamos supor que a fórmula é verdadeira para algum número natural . Ou seja, assumimos que:
Essa suposição nos ajuda a provar que a fórmula também vale para .

Passo 4

Passo indutivo: Agora, precisamos provar que:
Começamos usando a hipótese de indução:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do lado direito:
Fatorando :
Simplificando dentro dos parênteses:

Passo 6

Finalmente, observamos que:
Isso mostra que, se a fórmula é verdadeira para , então também é verdadeira para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, comprovamos que para todo , a soma dos cubos dos primeiros números naturais é:

Exercícios relacionados

Sejam os números definidos do seguinte modo: e para todo . Use o Princípio da Indução Forte para mostrar que para todo .
Prove a desigualdade de Bernoulli: dado , para todo vale
Prove que para todo .