Prove que
para todo
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que a soma dos cubos dos primeiros
números naturais é igual a
. Esse problema está relacionado com a álgebra, especificamente com a progressão de somas. Para resolver, vamos usar o princípio da indução matemática.
Passo 2
Base da indução: Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para
. Isso é importante para iniciar o processo de indução.
Calculando o lado esquerdo da equação:
Calculando o lado direito da equação:
Como ambos os lados são iguais, a base da indução é válida para
.
Passo 3
Hipótese de indução: Vamos supor que a fórmula é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição nos ajuda a provar que a fórmula também vale para
.
Passo 4
Passo indutivo: Agora, precisamos provar que:
Começamos usando a hipótese de indução:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão do lado direito:
Fatorando
:
Simplificando dentro dos parênteses:
Passo 6
Finalmente, observamos que:
Isso mostra que, se a fórmula é verdadeira para
, então também é verdadeira para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, comprovamos que para todo
, a soma dos cubos dos primeiros
números naturais é:
Exercícios relacionados
Sejam os números
definidos do seguinte modo:
e
para todo
. Use o Princípio da Indução Forte para mostrar que
para todo
.
Prove a desigualdade de Bernoulli: dado
, para todo
vale
Prove que
para todo
.