Sejam os números definidos do seguinte modo: e para todo . Use o Princípio da Indução Forte para mostrar que para todo .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de números definida assim:
  • Para todo ,
A matéria que vamos usar aqui é o Princípio da Indução Forte, que é uma técnica para provar afirmações que dependem de casos anteriores. Precisamos mostrar que, para todo , os valores de estão entre 1 e 2, ou seja, .

Passo 2

Vamos começar verificando os casos iniciais da sequência para ter certeza de que a afirmação é verdadeira para os primeiros termos.
Para :
Claramente, é verdadeiro.
Para :
Também é verdadeiro que .

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para todos os termos até , ou seja, assumimos que:
Esse é o nosso hipótese de indução forte. Vamos usar essa hipótese para provar que a afirmação também é verdadeira para , ou seja, que:

Passo 4

Sabemos que:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Vamos somar essas duas desigualdades:

Passo 5

Agora, multiplicamos tudo por :
Portanto:

Passo 6

Com isso, concluímos que se a afirmação é verdadeira para todos os até , então também é verdadeira para .
Como já verificamos que a afirmação é verdadeira para e , pelo Princípio da Indução Forte, a afirmação é verdadeira para todo .

Resposta

Para todo , os termos satisfazem .

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