Sejam os números
definidos do seguinte modo:
e
para todo
. Use o Princípio da Indução Forte para mostrar que
para todo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de números
definida assim:
-
-
- Para todo
,
A matéria que vamos usar aqui é o Princípio da Indução Forte, que é uma técnica para provar afirmações que dependem de casos anteriores. Precisamos mostrar que, para todo
, os valores de
estão entre 1 e 2, ou seja,
.
Passo 2
Vamos começar verificando os casos iniciais da sequência para ter certeza de que a afirmação é verdadeira para os primeiros termos.
Para
:
Claramente,
é verdadeiro.
Para
:
Também é verdadeiro que
.
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para todos os termos até
, ou seja, assumimos que:
Esse é o nosso hipótese de indução forte. Vamos usar essa hipótese para provar que a afirmação também é verdadeira para
, ou seja, que:
Passo 4
Sabemos que:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Vamos somar essas duas desigualdades:
Passo 5
Agora, multiplicamos tudo por
:
Portanto:
Passo 6
Com isso, concluímos que se a afirmação é verdadeira para todos os
até
, então também é verdadeira para
.
Como já verificamos que a afirmação é verdadeira para
e
, pelo Princípio da Indução Forte, a afirmação é verdadeira para todo
.
Resposta
Para todo
, os termos
satisfazem
.
Exercícios relacionados
Prove a desigualdade de Bernoulli: dado
, para todo
vale
Sejam
e
funções.
Mostre que se for sobrejetora, então,
é sobrejetora.
Mostre que se
Prove que
para todo
.
Prove que
para todo
.