Prove a desigualdade de Bernoulli: dado
, para todo
vale
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa provar é a Desigualdade de Bernoulli. Ela diz que, para qualquer número real
maior que
e para todo número natural
, a expressão
é sempre maior ou igual a
. Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica bacana para provar afirmações que valem para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a desigualdade funciona para o caso base, ou seja, quando
. Substituindo na desigualdade:
E o lado direito:
Então, temos que:
Isso mostra que a desigualdade é verdadeira para
.
Passo 3
Agora, assumimos que a desigualdade é verdadeira para um certo
, ou seja:
Essa é a nossa hipótese de indução. Vamos usar essa suposição para provar que a desigualdade também vale para
.
Passo 4
Considerando
, temos que demonstrar:
Podemos reescrever
como
.
Passo 5
Usando a hipótese de indução, sabemos que
. Então:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar os termos no lado direito:
Simplificando:
Passo 7
Como
e
é um número natural, o termo
é sempre não negativo (já que um número ao quadrado é positivo e multiplicado por
). Portanto:
Assim, mostramos que:
Resposta
Com isso, concluímos que a Desigualdade de Bernoulli
é válida para todo
e para todo número natural
. 🎉
Exercícios relacionados
Sejam
e
funções.
Mostre que se for sobrejetora, então,
é sobrejetora.
Mostre que se
Seja
uma função e assuma que
.
Mostre que se for sobrejetora, então,
.
Mostre que se
Sejam os números
definidos do seguinte modo:
e
para todo
. Use o Princípio da Indução Forte para mostrar que
para todo
.
Prove que
para todo
.