Prove a desigualdade de Bernoulli: dado , para todo vale

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa provar é a Desigualdade de Bernoulli. Ela diz que, para qualquer número real maior que e para todo número natural , a expressão é sempre maior ou igual a . Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica bacana para provar afirmações que valem para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a desigualdade funciona para o caso base, ou seja, quando . Substituindo na desigualdade:
E o lado direito:
Então, temos que:
Isso mostra que a desigualdade é verdadeira para .

Passo 3

Agora, assumimos que a desigualdade é verdadeira para um certo , ou seja:
Essa é a nossa hipótese de indução. Vamos usar essa suposição para provar que a desigualdade também vale para .

Passo 4

Considerando , temos que demonstrar:
Podemos reescrever como .

Passo 5

Usando a hipótese de indução, sabemos que . Então:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar os termos no lado direito:
Simplificando:

Passo 7

Como e é um número natural, o termo é sempre não negativo (já que um número ao quadrado é positivo e multiplicado por ). Portanto:
Assim, mostramos que:

Resposta

Com isso, concluímos que a Desigualdade de Bernoulli é válida para todo e para todo número natural . 🎉

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