Seja S=1,2,3,4 com a ordem <= usual. Considere em S times S a ordem lexicográfica preccurlyeq. Encontre todos os elementos de S times S menores do que (2,3).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos o conjunto com a ordem usual . Queremos considerar o produto cartesiano e usar a ordem lexicográfica para comparar os pares. Nosso objetivo é encontrar todos os elementos de que são menores do que o par .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é ordem lexicográfica. É como ordenar palavras no dicionário: comparamos o primeiro elemento dos pares, e se eles forem iguais, comparamos o segundo elemento.

Passo 3

Vamos listar todos os pares em &(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), &(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), &(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), &(4,1), (4,2), (4,3), (4,4) . São 16 pares no total:

Passo 4

Agora, queremos encontrar todos os pares que são menores que na ordem lexicográfica. Isso significa:
  • Primeiro, procurar todos os pares onde o primeiro número é menor que 2.
  • Segundo, se o primeiro número for igual a 2, então o segundo número deve ser menor que 3.

Passo 5

Vamos aplicar essas regras:
  1. Pares onde o primeiro número é menor que 2: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4)
  2. Pares onde o primeiro número é igual a 2 e o segundo número é menor que 3: (2,1), (2,2)

Resposta

Os elementos de , (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2) , menores do que são:

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