Prove as afirmações verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas.
Se T: V V é um operador auto-adjunto e beta é uma base qualquer de V, então [T]beta^beta é simétrica.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear que é auto-adjunto, ou seja, . Também temos uma base qualquer de . A afirmação diz que a matriz de na base , denotada por , é simétrica. Para analisar isso, vamos precisar conhecer o que é um operador auto-adjunto, o que significa uma matriz ser simétrica e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador auto-adjunto. Um operador é auto-adjunto se, para todos os vetores em , temos , onde é um produto interno em . Isso implica que a matriz de em uma base ortonormal é simétrica.

Passo 3

Agora, vamos considerar o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz é simétrica se , ou seja, se o elemento da posição é igual ao elemento da posição para todos e .

Passo 4

A afirmação diz que para qualquer base , a matriz ser�� simétrica. Sabemos que isso é verdadeiro se a base for ortonormal, porque operadores auto-adjuntos têm matrizes simétricas nesse caso. Mas será que isso vale para qualquer base?

Passo 5

Na verdade, se escolhemos uma base que não é ortonormal, a matriz de um operador auto-adjunto pode não ser simétrica. Isso porque a simetria da matriz depende da escolha da base, especificamente se ela preserva as propriedades do produto interno.

Passo 6

Vamos dar um contra-exemplo para ilustrar isso. Considere o espaço [T]beta^beta = 1 & 1 0 & 1 com o produto interno usual, e seja o operador identidade, que é obviamente auto-adjunto. Se escolhermos uma base que não é ortonormal, por exemplo, , a matriz de nessa base será:
Essa matriz não é simétrica porque .

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é o operador identidade em com a base , onde a matriz não é simétrica.

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