Prove as afirmações verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas.
Se
é um operador auto-adjunto e
é uma base qualquer de
, então
é simétrica.
Se
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear
que é auto-adjunto, ou seja,
. Também temos uma base qualquer
de
. A afirmação diz que a matriz de
na base
, denotada por
, é simétrica. Para analisar isso, vamos precisar conhecer o que é um operador auto-adjunto, o que significa uma matriz ser simétrica e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador auto-adjunto. Um operador
é auto-adjunto se, para todos os vetores
em
, temos
, onde
é um produto interno em
. Isso implica que a matriz de
em uma base ortonormal é simétrica.
Passo 3
Agora, vamos considerar o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz
é simétrica se
, ou seja, se o elemento da posição
é igual ao elemento da posição
para todos
e
.
Passo 4
A afirmação diz que para qualquer base
, a matriz
ser�� simétrica. Sabemos que isso é verdadeiro se a base
for ortonormal, porque operadores auto-adjuntos têm matrizes simétricas nesse caso. Mas será que isso vale para qualquer base?
Passo 5
Na verdade, se escolhemos uma base que não é ortonormal, a matriz de um operador auto-adjunto pode não ser simétrica. Isso porque a simetria da matriz depende da escolha da base, especificamente se ela preserva as propriedades do produto interno.
Passo 6
Vamos dar um contra-exemplo para ilustrar isso. Considere o espaço
com o produto interno usual, e seja
o operador identidade, que é obviamente auto-adjunto. Se escolhermos uma base que não é ortonormal, por exemplo,
, a matriz de
nessa base será:
Essa matriz não é simétrica porque
.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é o operador identidade em
com a base
, onde a matriz
não é simétrica.
Exercícios relacionados
Seja
, com
e
, uma base ordenada de
. Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, com o produto interno euclideano, em
para obter uma base ortonormal de
.
Prove as afirmações verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas.
Seja um operador linear ortogonal de um espaço vetorial real
, então seus autovalores só podem ser 1 ou -1 .
Seja
Resolva a equação abaixo:
Resolva a equação abaixo: