Prove que
, quaisquer que sejam os conjuntos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que
para quaisquer conjuntos
,
e
. Isso está relacionado ao estudo de teoria dos conjuntos, especificamente sobre diferenças e uniões de conjuntos. Vamos precisar entender o que significa subtrair conjuntos e como funciona a união deles para resolver essa prova.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a diferença entre dois conjuntos. Para conjuntos
e
, a diferença
é o conjunto de todos os elementos que estão em
mas não estão em
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos entender a união de dois conjuntos. A união
é o conjunto de todos os elementos que estão em
, em
, ou em ambos. Formalmente:
Passo 4
Vamos calcular o lado esquerdo da equação:
. Aplicando a definição de diferença, temos:
Isso significa que estamos pegando todos os elementos de
que não estão nem em
nem em
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o lado direito da equação:
. Primeiro, calculamos
:
Depois, subtraímos
desse conjunto:
Passo 6
Comparando os dois resultados:
Vemos que ambos os lados são iguais, pois ambos representam o conjunto de elementos que estão em
e não estão nem em
nem em
.
Resposta
Portanto, provamos que
para quaisquer conjuntos
,
e
.