Prove que A-(B u C)=(A-B)-C, quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que para quaisquer conjuntos , e . Isso está relacionado ao estudo de teoria dos conjuntos, especificamente sobre diferenças e uniões de conjuntos. Vamos precisar entender o que significa subtrair conjuntos e como funciona a união deles para resolver essa prova.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a diferença entre dois conjuntos. Para conjuntos e , a diferença é o conjunto de todos os elementos que estão em mas não estão em . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos entender a união de dois conjuntos. A união é o conjunto de todos os elementos que estão em , em , ou em ambos. Formalmente:

Passo 4

Vamos calcular o lado esquerdo da equação: . Aplicando a definição de diferença, temos:
Isso significa que estamos pegando todos os elementos de que não estão nem em nem em .

Passo 5

Agora, vamos calcular o lado direito da equação: . Primeiro, calculamos :
Depois, subtraímos desse conjunto:

Passo 6

Comparando os dois resultados:
Vemos que ambos os lados são iguais, pois ambos representam o conjunto de elementos que estão em e não estão nem em nem em .

Resposta

Portanto, provamos que para quaisquer conjuntos , e .

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