Sejam A e B conjuntos. Prove que P(A) ⊆ P(B) se, e somente se, A ⊆ B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois conjuntos, e , e pede para provar que o conjunto das partes de está contido no conjunto das partes de ( ) se, e somente se, está contido em ( ). Vamos precisar entender o que são conjuntos, subconjuntos e conjuntos das partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto das partes. Para qualquer conjunto , o conjunto das partes, denotado por , é o conjunto que contém todos os subconjuntos de . Por exemplo, se , então .

Passo 3

Agora, queremos provar duas coisas:
  1. Se , então .
  2. Se , então .
Vamos começar com a primeira parte.

Passo 4

Prova da primeira parte: Suponha que . Queremos mostrar que .
Pense no próprio conjunto como um subconjunto de si mesmo. Ou seja, . Se , então também pertence a . Isso significa que é um subconjunto de , ou seja, .

Passo 5

Prova da segunda parte: Agora, suponha que . Queremos mostrar que .
Se , então todo subconjunto de também é um subconjunto de . Portanto, cada elemento de está também em , o que significa que .

Resposta

Assim, provamos que se, e somente se, .

Exercícios relacionados