Sejam
e
conjuntos. Prove que
se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois conjuntos,
e
, e pede para provar que o conjunto das partes de
está contido no conjunto das partes de
(
) se, e somente se,
está contido em
(
). Vamos precisar entender o que são conjuntos, subconjuntos e conjuntos das partes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto das partes. Para qualquer conjunto
, o conjunto das partes, denotado por
, é o conjunto que contém todos os subconjuntos de
. Por exemplo, se
, então
.
Passo 3
Agora, queremos provar duas coisas:
- Se
, então . - Se
, então .
Vamos começar com a primeira parte.
Passo 4
Prova da primeira parte: Suponha que
. Queremos mostrar que
.
Pense no próprio conjunto
como um subconjunto de si mesmo. Ou seja,
. Se
, então
também pertence a
. Isso significa que
é um subconjunto de
, ou seja,
.
Passo 5
Prova da segunda parte: Agora, suponha que
. Queremos mostrar que
.
Se
, então todo subconjunto de
também é um subconjunto de
. Portanto, cada elemento de
está também em
, o que significa que
.
Resposta
Assim, provamos que
se, e somente se,
.
Exercícios relacionados
Prove que
, quaisquer que sejam os conjuntos
e
.
Sejam
e
.
Decida se .
Decida se
Calcule
para
e
.
Para quais valores inteiros de
vale que
? Justifique sua resposta.