Prove que:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a soma infinita
é igual a
. Vamos precisar entender como simplificar essa expressão e usar conceitos de séries infinitas para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Observamos que podemos fatorar esse polinômio:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático:
Então, o denominador fica:
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, podemos escrever a fração como:
Para somar essa série, vamos usar a fração parcial, que nos ajuda a decompôr uma fração complicada em frações mais simples.
Passo 4
Vamos supor que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
. Para isso, podemos escolher valores espec��ficos de
que simplificam a equação.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Com os valores de
,
e
encontrados, a decomposição fica:
Ou, simplificando:
Passo 7
Agora, vamos somar essa expressão de
até o infinito:
Essa soma é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos vários deles.
Passo 8
Escrevendo os primeiros termos para ver o padrão:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante. Observamos que muitos termos positivos e negativos se cancelam entre si.
Passo 9
Ao somar infinitos termos, apenas alguns permanecem:
Após cancelar os termos intermediários, ficamos com:
Passo 10
Finalmente, calculamos o limite da soma:
Mas, como tivemos frações divididas por 2 no início, o resultado final é: