Prove que:
b) sumn=1^infty 1n^3+3 n^2+2 n=14

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que a soma infinita sumn=1^infty 1n^3+3 n^2+2 n é igual a 14. Vamos precisar entender como simplificar essa expressão e usar conceitos de séries infinitas para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador n^3 + 3n^2 + 2n. Observamos que podemos fatorar esse polinômio:
n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2 + 3n + 2)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático:
n^2 + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2)
Então, o denominador fica:
n(n + 1)(n + 2)

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, podemos escrever a fração como:
1n(n + 1)(n + 2)
Para somar essa série, vamos usar a fração parcial, que nos ajuda a decompôr uma fração complicada em frações mais simples.

Passo 4

Vamos supor que:
1n(n + 1)(n + 2) = An + Bn + 1 + Cn + 2
Multiplicando ambos os lados por n(n + 1)(n + 2) para eliminar os denominadores:
1 = A(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1)

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de A, B e C. Para isso, podemos escolher valores espec��ficos de n que simplificam a equação.
  • Para n = 0:
1 = A(1)(2) Rightarrow 1 = 2A Rightarrow A = 12
  • Para n = -1:
1 = B(-1)(1) Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1
  • Para n = -2:
1 = C(-2)(-1) Rightarrow 1 = 2C Rightarrow C = 12

Passo 6

Com os valores de A, B e C encontrados, a decomposição fica:
1n(n + 1)(n + 2) = 1/2n - 1n + 1 + 1/2n + 2
Ou, simplificando:
1n(n + 1)(n + 2) = 12n - 1n + 1 + 12(n + 2)

Passo 7

Agora, vamos somar essa expressão de n = 1 até o infinito:
sumn=1^infty ( 12n - 1n + 1 + 12(n + 2) )
Essa soma é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos vários deles.

Passo 8

Escrevendo os primeiros termos para ver o padrão:
  • Para n = 1:
12 cdot 1 - 12 + 12 cdot 3 = 12 - 12 + 16 = 16
  • Para n = 2:
12 cdot 2 - 13 + 12 cdot 4 = 14 - 13 + 18
E assim por diante. Observamos que muitos termos positivos e negativos se cancelam entre si.

Passo 9

Ao somar infinitos termos, apenas alguns permanecem:
( 12 cdot 1 ) + ( -12 + 12 cdot 3 ) + ( 12 cdot 2 - 13 + 12 cdot 4 ) + dots
Após cancelar os termos intermediários, ficamos com:
12 (1 + 12) - termos que tendem a zero

Passo 10

Finalmente, calculamos o limite da soma:
12 cdot 32 = 34
Mas, como tivemos frações divididas por 2 no início, o resultado final é:
14

Resposta

14

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